Математическая энциклопедия - весовое пространство

конечномерное пространство , удовлетворяющее условию: если Ли алгебра над полем , а ее представление в V, то существует такая функция , что для любых

при нек-ром целом . Функция наз. весом. Тензорное произведение представлений алгебры Lв В. п. принадлежащих весам соответственно, является представлением Lв пространстве к-рое также оказывается В. п. и принадлежит весу i При переходе от представления р к контраградиентному представлению пространство Vзаменяется на сопряженное пространство , а вес переходит в вес -. Е. Н. Кузьмин. ВЕТВЛЕНИЕ РЕШЕНИЙ нелинейных уравненийявление перехода нек-рого решения нелинейного уравнения в несколько решений (или полное его исчезновение) при малых изменениях параметров. Более точно, пусть нелинейное уравнение

с (не обязательно числовым) параметром имеет при фиксированном значении решение . Тогда при значениях , близких к , уравнение (*) может иметь несколько (более одного) решений , близких к .

В этих случаях говорят, что происходит ветвление решения ,а пара наз. точкой ветвления у равнения (*).

Пример: Уравнение , где и комплексные переменные, имеет точку ветвления ибо существует двузначное решение т. е. решение (при ) разветвляется при малых на два малых нетривиальных решения.

Современная теория В. р. основывается на идеях А. М. Ляпунова [1] и Э. Шмидта [2] и наиболее развита для нелинейных уравнений в банаховых пространствах.

Пусть и комплексные банаховы пространства, комплексное переменное, а нелинейный оператор, непрерывный вместе с Фреше производной в окрестности точки отображающий в окрестность нуля пространства E2 п такой, что Фредгольма оператор.

Задача состоит в том, чтобы найти в шаре достаточно малого радиуса rвсе решения уравнения (*), непрерывные при где также достаточно мало. Иными словами, это есть задача локального продолжения решения по параметру . Если существует обратный оператор , то задача имеет единственное решение , причем Если же , не существует, то нуль-пространство оператора Вимеет размерность . В этом случае задача может быть сведена к аналогичной конечномерной задаче. Пусть через Робозначен проектор на , а через проектор на область значений оператора В, где I тождественный оператор. Уравнение (*) может быть записано в виде системы

где Из первого уравнения системы определяется неявный оператор В результате его подстановки во второе уравнение системы получается уравнение

для определения ; оно наз. уравнением разветвления. Полное решение задачи о нахождении в шаре достаточно малого радиуса rвсех решений уравнения разветвления, непрерывных при (где достаточно мало), приводит к полному решению исходной задачи, ибо всякое ее решение пред-ставимо в виде

где нек-рое решение уравнения разветвления.

Пусть аналитический оператор в . Выбор базисов в и-мерных подпространствах и позволяет записать уравнение разветвления в виде системы

аналитич. функции в точке причем все частные производные обращаются в нуль в этой точке. Исследование этой системы может осуществляться при помощи теории исключения, метода Ньютона диаграммы п др. методов (см. [3] [5]). При n=1 полный анализ осуществляется методом диаграммы Ньютона. Применительно к исследованию уравнения разветвления, а значит и исходной задачи, возможны лишь следующие три случая: а) задача не имеет решений; б) задача имеет конечное число решений и все ени представимы сходящимися рядами по целым или дробным степеням разности ; в) задача имеет конечное число семейств решений, каждое из к-рых зависит от конечного числа свободных малых параметров, и, быть может, конечное число решений, указанных в б).