Математическая энциклопедия - витали теорема

1) В. т. о покрытии. Если система замкнутых множеств является покрытием Витали (см. ниже) множества , то из можно выделить не более чем счетную последовательность попарно непересекающихся множеств , i= 1, 2, 3, . . . , такую, что

где т е - внешняя мера Лебега в .

Покрытием В и та-ли множества наз. система подмножеств такая, что для любого хEА существует последовательность из , удовлетворяющая условиями

где sup берется по всем I кубам с гранями, параллельными координатным плоскостям, содержащим , и внешняя мера Лебега в (этот sup наз. параметром регулярности ).

Теорема была доказана Дж. Витали [1] в случае, когда {F} состоит из кубов с гранями, параллельными координатным плоскостям. Условие, что есть покрытие Витали множества А, а не покрытие в обычном смысле, существенно для справедливости В. т. Это условие не может быть опущено, даже если есть система сегментов и каждому соответствует последовательность из с центром в хи диаметрами, стремящимися к нулю.

Лит.:[1] Vitali G., "Atti Accad. sci. Torino", 1908, v. 43, p. 75-92; [2] Сакс С., Теория интеграла, пер. с англ., М., 1949. И. А. Виноградова.

2) В. т. о равномерной сходимости последовательности голоморфных функций: пусть последовательность голоморфных функций в области Dкомплексной плоскости z равномерно ограничена и сходится на множестве , обладающем предельной точкой в D;тогда последовательность равномерно сходится внутри D к регулярной функции, т. е. равномерно сходится на любом компактном множество . Получена Дж. Витали [1].

Компактности принцип позволяет усилить В. т., заменив в ее условии требование равномерной ограниченности в Dтребованием равномерной ограниченности внутри D, т. е. на любом компактном множестве Имеются также обобщения В. т. для нормальных семейств мсроморфных функций, для семейств квазиана-литич. функций и для семейств голоморфных функций многих комплексных переменных; в последнем случае, однако, на множество необходимо наложить дополнительные ограничения, напр., что Есодержит внутренние точки в С ⁿ (см. [3], [4]).

Лит.:[1] Vitali G., "Rend, del R. 1st. Lombardo" 2 ser., 1903, v. 36, p. 772; "Ann. mat. pura ed appl.", 3 ser., 1904 v. 10, p. 73; [2] Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, т. 1, 2 изд., М., 1967, гл. 4; [3] Монтель П. Нормальные семейства аналитических функций, пер. с франц. М.-Л., 1936; [4] Ганнинг Р., Росси X., Амалити ческие функции многих комплексных переменных, пер. с англ. М., 1969. Е. Д. Соламенцев

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985