Математическая энциклопедия - витта кольцо

поля k, кольцо типов квадратичных форм над k,- кольцо W(k).классов невырожденных квадратичных форм на конечномерных векторных пространствах над kпо следующему отношению эквивалентности: форма f1 эквивалентна форме тогда и только тогда, когда для некоторых нейтральных квадратичных форм g1 и g2 ортогональная прямая сумма форм f1 и g1 изометрична ортогональной прямой сумме f2 и g2. Операции сложения и умножения в индуцируются взятием ортогональной прямой суммы и тензорного произведения форм.

Пусть характеристика поля kотлична от 2. Тогда определение эквивалентности форм равносильно следующему: тогда и только тогда, когда анизотропные формы соответствующие (см. Витта разложение), изометричны. Класс эквивалентности формы f наз. ее типом и обозначается [f]. В. к., или кольцо типов квадратичных форм, есть ассоциативно коммутативное кольцо с единицей. Единицей кольца является тип формы (1). [Здесь через (a1, ..., an) обозначается квадратичная форма Нулем служит тип нулевой формы ранга нуль, содержащий также все нейтральные формы. Противоположным к тжшу является тип .

Аддитивная группа кольца W(k).наз. группой Витта поля k, или группой типов квадратичных форм над k. Типы квадратичных форм вида (а), где а элемент мультипликативной группы поля k, порождают кольцо . Причем полностью определяется в этих образующих соотношениями:

В. к. можно описать как кольцо, изоморфное фактор-кольцу целочисленного группового кольца

группы по идеалу, порожденному элементами

где смежный класс элемента хпо подгруппе

В ряде случаев В. к. вычисляется явно: напр., если k - квадратично (в частности, алгебраически) замкнутое поле, то если k - вещественно замкнутое поле, то (изоморфизм осуществляется сопоставлением типу [f] сигнатуры формы f); если k - пифагорово поле (т. е. сумма любых двух квадратов в kявляется квадратом) и не вещественно, то если k - конечное поле, то кольцо W(k).изоморфно либо кольцу вычетов , либо если k - полное локальное поле и его поле классов имеет характеристику, отличную от 2, то

Расширение поля определяет гомоморфизм колец Витта при котором . Если расширение конечно и имеет нечетную степень, то мономорфизм, а если, кроме того, оно является Галуа расширением с группой G, то действие группы Gпродолжается на W(k).и

Общие свойства В. к. описываются теоремой Пфистера:

1) для любого поля kпериодическая подгруппа группы 2-примарна;

2) если k - вещественное поле, а его пифагорово замыкание (т. е. наименьшее пифагорово поле, содержащее k), то точна последовательность

(при этом, если Wt(k)=0, то поле kпифагорово);

3) если {ka} семейство всех вещественных замыканий поля k, то точна последовательность