Математическая энциклопедия - витта разложение

векторного пространства разложение пространства в прямую сумму трех подпространств, обладающих определенными свойствами. Точнее, пусть V - векторное пространство над полем kхарактеристики, отличной от двух, наделенное метрич. структурой с помощью симметрической или знакопеременной билинейной формы f. Прямое разложение

наз. В. р. пространства , если и вполне изотропны, a Dнеизотропно и ортогонально относительно f. В. р. играет важную роль в изучении структуры формы f и в вопросах классификации билинейных форм.

Пусть f невырожденная билинейная форма и V - конечномерно. Тогда любое максимальное вполне изотропное подпространство в Vможет быть включено в В. р. пространства Vв качестве (или ). Для всякого В. р. и для любого базиса существует такой базис в , что ( dijсимволы Кронекера). Для любых двух В. р.

условие необходимо и достаточно для того, чтобы существовал такой метрич. автоморфизм пространства V, что

Невырожденная билинейная симметрическая или знакопеременная форма f на Vназ. нейтральной, если Vконечномерно и обладает В. р. с D= 0. Симметрическая форма в этом случае наз. гиперболической формой, а V - гиперболическим пространством. Ортогональная прямая сумма нейтральных форм нейтральна. Матрица нейтральной формы (в описанном выше базисе пространства ) имеет вид

где единичная матрица порядка , а =1 для симметрической формы и 1 для знакопеременной. Нейтральные формы изометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Класс нейтральных симметрических билинейных форм является нулем (т. е. нейтральным элементом по сложению) в Витта кольце поля k. Нейтральные формы и только они имеют индекс Витта, равный . Знакопеременная форма на конечномерном пространстве нейтральна.

Если f невырожденная симметрическая билинейная форма на конечномерном пространстве и -В. р., в котором и равно индексу Витта формы f, то сужение f на Dявляется определённой, или анизотропной, билинейной формой, т. е. такой, что для любого ненулевого . Эта форма не зависит (с точностью до изометрии) от выбора В. р. на V. В множестве определенных билинейных форм можно ввести операцию сложения, превращающую его в абелеву группу группу Витта поля k(см. Витта кольцо).

Пусть такие базисы в что объединяя эти базисы с произвольным базисом в D, получают базис в V, в к-ром матрица формы f имеет вид

Для симметрических билинейных форм существует ортогональный базис в V, т. е. такой, в к-ром матрица формы диагональна. Если поле kалгебраически замкнуто, то найдется даже ортонормировании и базис (базис, в к-ром матрица формы является единичной), поэтому невырожденные симметрические билинейные формы конечного ранга над kизометричны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. В общем случае классификация таких форм существенно зависит от арифметич. свойств поля k.

Изучение и классификация вырожденных симметрических и знакопеременных билинейных форм сводится к изучению невырожденных форм (сужение формы на подпространство, дополнительное к ядру формы).

Все изложенное допускает обобщение на случай е-эрмитовых форм над телом, обладающих свойством (Т).(см. Витта теорема), а также на случай симметрических билинейных форм, ассоциированных с квадратичной формой, без ограничений на характеристику поля.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [3] Ар тин Э., Геометрическая алгебра, пер. с англ., М., 1969; [4] Дьедонце Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985