Математическая энциклопедия - вложения теоремы

теоремы, относящиеся к циклу вопросов, посвященных изучению неравенств между нормами одной и той же функции, принадлежащей к разным классам (нормированным пространствам). Обычно речь идет о двух классах и , где есть часть и при этом выполняется неравенство

для всех , где С константа, не зависящая от нормы соответственно в . При указанных условиях говорят, что имеет место вложение в или, что вкладывается в , и пишут . Исследования, связанные с В. т., составляют раздел теории функций, но главные направления в них развиваются под влиянием краевых задач математической физики, в частности прямых вариационных методов. В связи с этим в течение последних трех десятилетий создана стройная теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных.

К числу задач, решаемых В. т., относятся, напр., следующие. Пусть известно, что функция f имеет частные производные порядка l, вообще говоря, обобщенные (см. Обобщенная производная), интегрируемые в р-й степени на данной области n-мерного пространства . Спрашивается: 1) какое гарантированное число непрерывных производных имеет эта функция на ? 2) если область имеет достаточно гладкую границу Г, то можно ли в том или ином смысле определить след функции f в точках , т. е. предельные значения , когда приближается к x, и какими гарантированными дифференциальными свойствами обладает этот след? При этом часто надо знать эти свойства настолько точно, чтобы наличие таковых у функции , заданной на Г, влекло возможность продолжения с Г на так, чтобы продолженная функция имела на обобщенные производные порядка l, интегрируемые в р-йстепени. Из фактов, приводимых ниже, будет видно, что указанные пределы (понимаемые в смысле сходимости почти всюду) определения следа функции f и продолжения могут сопровождаться неравенствами между нормами fна и Г, к-рые и применяются в теории краевых задач.

Многомерная теория вложений классов дифференцируемых функций возникла в 30-х гг. 20 в. в работах С. Л. Соболева в связи с решением задач математич. физики. Ему принадлежат основные В. т. для классов ( Соболева пространств), играющих важную роль в анализе. Функция принадлежит если она определена на и для нее конечна норма

где

и сумма распространена на всевозможные (обобщенные по Соболеву) частные производные

порядка .

Основная теорема С. Л. Соболева (с дополнениями В. И. Кондрашова и В. П. Ильина) для случая :

при условиях

справедливо вложение

где [k]целая часть k.

При это означает, что функция имеет след (см. ниже) на любой координатной гиперплоскости размерности т,

а

где Сне зависит от f (см. [6], [7]).

Функция f, заданная на , имеет след на , где есть m-мерное (координатное) подпространство точек с фиксированными если f можно видоизменить на нек-ром множестве n-мерной меры нуль так, чтобы для видоизмененной функции, к-рая снова обозначается через f, имело место

Если есть множество функций f, заданных на , то задача описания свойств следов этих функций на подпространство наз. проблемой следов для класса .

Теорема (4) является окончательной в терминах классов . Дальнейшее ее улучшение возможно лишь путем введения новых классов.

В одномерном случае , где проблема следов не возникает, теорема (4) принадлежит Г. Харди и Дж. Литлвуду (G. Hardy, J. Littlewood).

Следующим этапом в развитии этой теории являются теоремы вложения С. М. Никольского для обобщенных гёльдеровых классов (см. Гёльдерово пространство)( Н- классов). Эти классы образуют шкалу с непрерывно меняющимися параметрами, характеризующими гладкость функций. Они анизотропны в том смысле, что принадлежащие к ним функции обладают, вообще говоря, разными дифференциальными свойствами по разным направлениям. Пусть есть множество точек , удаленных от границы больше чем на , и пусть положительный вектор (; ), целое и .

Функция принадлежит классу , , если и для любого существует обобщенная частная производная

удовлетворяющая неравенству

где вторая разность функции по переменной с шагом h и Мконстанта, не зависящая от h. Класс образует банахово пространство, если ввести норму

где наименьшая константа М, при к-рой выполняются неравенства (7). Для соответствующий (изотропный) класс обозначается через При целом lкласс близок к классу Соболева с точностью до в том смысле, что

Справедливы теоремы вложения (С. М. Никольский)

где

где

(см. [5]).

Теорема (9) является анизотропным аналогом теоремы (4), но имеет то преимущество, что верхние (векторные) индексы г, фигурирующих в ней классов могут изменяться непрерывно. Кроме того, она полностью охватывает случаи . Однако при она, в отличие от (4), неверна. В одном случае ( п=т=1).при и не целых она доказана Г. Хардп и Дж. ЛитлвуДОМ .

Частный случай теоремы (9) при записан еще раз в виде вложения (10) с верхней стрелкой. Оно гласит: функция имеет след на и при этом

где Сне зависит от f. Но справедливо и обратное утверждение, выражаемое нижней стрелкой, к-рое надо понимать в следующем смысле: каждая определенная на функция может быть продолжена на все пространство так, что полученная функция (со следом на , равным ) принадлежит к и выполняется неравенство (обратное к (11)):

где не зависит от .

Взаимно обратные вложения (10) полностью решают проблему следов для H-классов и при этом в терминах H-классов.

Теорема (9) носит транзитивный характер, заключающийся в том, что переход

от первого класса в цепи (12) ко второму, а затем от второго к третьему, где параметры вычисляются по указанным в (9) формулам, может быть заменен одним переходом от первого класса к третьему при непосредственном вычислении по тем же формулам.

В дальнейшем (см. далее [14]) была решена проблема следов для W-классов, вообще анизотропных. Это привело к введению нового семейства классов дифференцируемых функций многих переменных зависящих от векторного параметра rи двух скалярных параметров удовлетворяющих неравенствам , .Во всей полноте это семейство определил О. В. Бесов, изучивший также его основные свойства.

Функция f при надлежит классу , где целый вектор, если для нее имеет смысл конечная норма

Функция fпринадлежит классу , где произвольный, не обязательно целый вектор, если для нее конечна норма

где числа и определены выше.

Естественно считать, что класс при совпадает с классом Обычно пишут еще вместо , когда и . Для любых указанных классы суть банаховы пространства.

Теоремы вложения (9), (10) верпы, если в них заменить Нна В. Имеют место также взаимно обратные вложения

где целое, полностью решающие проблему следов для W-классов, что не мешает выполняться взаимно обратным вложениям, выраженным полностью на языке В-классов:

Классы . соответствующие значениям параметров

принято еще обозначать через При вложения (14) записываются еще и так

Естественными продолжениями W-классов являются классы, в определении к-рых фигурирует понятие дробной производной по Лиувнллю (см. Дробное интегрирование и дифференцирование).

Употребляя терминологию обобщенных функций, можно задать основной класс функций так, что построенный над ним класс обобщенных функций будет обладать следующими свойствами: 1) при любом конечном ; 2) при любом ", не обязательно целом, имеет смысл операция

где означают соответственно прямое и обратное Фуръе преобразование; 3) если l - целое и функция имеет обобщенную по Соболеву производную то для нее имеет место равенство (17).

При дробных l на бесконечно дифференцируемых финитных функциях операция (17) совпадает с операцией дробного дифференцирования по Лиувнллю. Естественно называть при нецелом lдробной производной от f порядка lпо .

Если теперь задан произвольный вектор то можно ввести пространство совпадающее с при целых , заменив в (13) на L.

Если то положим Семейство классов может рассматриваться как естественное расширение семейства на дробное , "естественное" потому, что с точки зрения интересующего нас круга идей классы обладают "всеми достоинствами и недостатками классов ". Если в формуле (4) (где [k]можно заменить на k), или (8) (где lможет быть дробным), или в (14), (16) (где может быть дробным) заменить Wна L, то они останутся верными. Верной также останется формула (9), если в пей заменить Нна Lдаже при более широком условии однако в предположении, что

В дальнейшем продолжается применение аппарата обобщенных функций, но теперь уже составляющих пространство . Для любого действительвого числа р имеет смысл операция (Бесселя Макдональда):

обладающая свойствами: оператор Лапласа.

Изотропный класс может быть определен еще как совокупность функций f, пред-(лавимых в виде где функции пробегают пространство при этом, с точностью до эквивалентности,

Это определение класса годится и для отрицательных , но в этом случае есть совокупность, вообще говоря, обобщенных функций . В частности .

Операция может служить средством и для определения классов Именно, будем называть обобщенную функцию регулярной в смысле или принадлежащей к , если найдется такое , что Всякую функцию можно определить как регулярную в смысле функцию, представимую рядом

слабо сходящимся к (в смысле ), где имеет спектр (носитель ) в , а при имеет спектр в и

и при этом

В частности,

Это определение класса автоматически распространяется на случай , и тогда функции f, входящие в эти классы, будут, вообще говоря, обобщенными (). При этом .

Существуют и другие эквивалентные определения отрицательных классов , основанные на принципе интерполяции функциональных пространств. Приведенное определение носит конструктивный характер каждый заданный параметрами класс определяется независимо, при этом можно конструктивно определить линейные операции, при помощи к-рых по данной функции определяется функция (экспоненциального типа при и типа 1 при s=0).

Справедлива теорема вложения: