Математическая энциклопедия - вторая вариация

частный случай n-той вариации функционала (см. также Гато вариация), обобщающий понятие второй производной функции нескольких переменных; используется в вариационном исчислении. Согласно общему определению В. в. в точке х 0 функционала f(x), определенного в нормированном пространстве X, есть

При равенстве нулю первой вариации неотрицательность В. в. является необходимым, а строгая положительность

при нек-рых допущениях достаточным условием локального минимума в точке .

В простейшей (векторной) задаче классического вариационного исчисления В. в. функционала

(рассматриваемого на векторных функциях класса с закрепленными краевыми значениями ) имеет вид:

где означает стандартное скалярное произведение в матрицы с коэффициентами соответственно (производные вычисляются в точках кривой ). Целесообразно рассматривать функционал от h, определяемый формулой (*), не только в пространстве С ¹, но и на более широком пространстве абсолютно непрерывных векторных функций с интегрируемым квадратом модуля производной. В этом случае неотрицательность и строгая положительность В. в. формулируются в терминах неотрицательности и строгой положительности матрицы (Лежандра условие).и отсутствия српряженных точек (Якоби условие), что дает условия слабого минимума в вариационном исчислении.

Для вариационного исчисления в целом было проведено исследование В. в. для экстремалей-, не обязательно доставляющих минимум (однако, по-прежнему,при выполнении условия Лежандра, см. [1]). Важнейший результат совпадение Морса индекса В. в. и числа точек, сопряженных с , на интервале (см. [2]).

Лит.: [1] Morse M., The calculus of variations in the large, N. Y., 1934; [2] Милнор Дж., Теория Морса, пер. с англ., М., 1965. В. М. Тихомиров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985