Математическая энциклопедия - ядерная билинейная форма

билинейная форма В(f, g)на декартовом произведении локально выпуклых пространств Fи G, допускающая представление вида

где суммируемая последовательность, {f'i} и {g'i}равностепенно непрерывные последовательности в сопряженных к Fи G пространствах F' и G' соответственно, а значение линейного функционала а' на векторе а обозначается < а, а'>. Все Я. б. ф. непрерывны. Если F - ядерное пространство, то для любого локально выпуклого пространства G все непрерывные билинейные формы на являются ядерными (теорема о ядре). Этот результат принадлежит А. Гротендику [1]; в приведенной форме теорема о ядре сформулирована в [2], другие формулировки см. в [3]. Справедливо и обратное утверждение: если для пространства . выполняется заключение теоремы о ядре, то это пространство ядерно.

Для пространств гладких финитных функций теорему о ядре впервые получил Л. Шварц [4]. Пусть D - ядерное пространство всех бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем на прямой, наделенное стандартной локально выпуклой топологией Шварца, так что сопряженное пространство D' состоит из всех обобщенных функций на прямой. Для частного случая F=G=D теорема о ядре эквивалентна следующему утверждению: всякий непрерывный билинейный функционал на имеет вид

где f(t), и F=F(t1, t2) обобщенная функция от двух переменных. Аналогичную формулировку допускает теорема о ядре для пространств гладких финитных функций от нескольких переменных, пространств быстро убывающих функций и других конкретных ядерных пространств. Аналогичные результаты справедливы и для полилинейных форм.

Непрерывную билинейную форму В(f,g) на можно отождествить с непрерывным линейным оператором с помощью равенства

что приводит к формулировке теоремы Шварца о ядре: для каждого непрерывного линейного отображения существует такая однозначно определенная обобщенная функция F(t1, t2 )от двух переменных, что

для всех Другими словами, A является интегральным оператором с ядром F.

Лит.:[1] Grothendieck A., Produits tenaoriels topologiques et espaces nucleaires, Providence, 1955; [2] Пич А., Ядерные локально выпуклые пространства, пер. с нем., М., 1967; [3] Гельфанд И.