Математическая энциклопедия - зейделя метод

итерационный метод решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b. Решение системы х* находится как предел последовательности вычисляемой по правилу

i=l, 2, ..., п,

где aijэлементы матрицы А, bi компоненты вектора b;диагональные элементы матрицы Апредполагаются отличными от нуля. Вычисления (*) отличаются от простой итерации метода лишь тем, что на k-м шаге при вычислении i-й компоненты учитываются вычисленные k-в приближения первых (i-1) компонент.

В матричной записи 3. м. представляется следующим образом. Если А=В+С, где

то соотношение (*) соответствует матричному соотношению x^(k)= В ^-1 Сх^(k-1)+В ^-1b. З. м. равносилен методу простой итерации, примененному к системе x=-B^-1Cx+B^-1b, эквивалентной исходной. Для сходимости 3. м. необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы В ^-1 С по модулю были меньше 1. Иначе, чтобы все корни уравнения det(C+Вl)=0 были по модулю меньше 1.

На практике более удобны следующие достаточные условия сходимости 3. м. 1) Пусть при всех i,

д<1. Тогда 3. м. сходится и для

скорости сходимости имеет место оценка:

2) Пусть Аэрмитова положительно определенная матрица. Тогда 3. м. сходится.

З. м. относится к классу релаксации методов, наиболее употребительным из к-рых является сверхрелаксации метод.

Известны модификации 3. м., использующие предварительное преобразование исходной системы в эквивалентную ей систему x=Mx+f (см. [4]).

Метод предложен Л. Зейделем в [1].

Лит.:[1] Seidеl L., "Abhandl. Bayer. Akad. Wiss. Math.-naturwiss. Kl.", 1874, Bd 11, №3, S. 81 108; [2] Бахвалов H. С, Численные методы, 2 изд., М., 1975; [3] Березин И. С, Жидков Н. П., Методы вычислений, 3 изд., т. 1, М., 1966; И Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н., Вычислительные методы линейной алгебры, 2 изд., М.Л., 1963.

Г. Д. Ким.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985