Математическая энциклопедия - желоб

двусвязная поверхность Sтипа кольца, содержащая внутри себя плоскую замкнутую кривую L, плоскость Рк-рой во всех точках Lкасается S. Вдоль Lгауссова кривизна КЖ. Sобращается в нуль. Если при этом Lразделяет Ж. Sна две части, на каждой из к-рых Кзнакопостоянна, то соответствующие части Sназ. положительным и отрицательным полужелобами. Примером Ж. является узкая полоска тора вдоль одной из его замкнутых параболических параллелей.

Ж. занимает промежуточное положение между объектами геометрии "в целом" и геометрии "в малом", так как он, заключая в себе определенную замкнутую кривую L, не может быть сколь угодно малым, и в то же время размеры его в трансверсальных к Lнаправлениях могут быть сколь угодно малыми. Интерес к изучению Ж. вызывается тем, что достаточно узкая полоска поверхностей знакопеременной кривизны вдоль замкнутой параболич. линии часто представляет собой Ж., и поэтому знание свойств Ж. при различных деформациях позволяет иногда получать информацию о соответствующих свойствах всей поверхности "в целом".

Наиболее подробно исследованы так наз. плоский Ж. (для к-рого кривая Lявляется выпуклой, а сам Ж. Sрасполагается по одну сторону от Р, имея с Ркасание 1-го порядка) и Ж. вращения (когда Lявляется параллелью поверхности вращения). Для аналитич. лоских Ж. доказана их жесткость относительно аналитических бесконечно малых изгибаний 2-го порядка, а для Ж. вращения изучение их бесконечно малых изгибаний 1-го и 2-го порядков распространено до класса регулярности С ¹ [3]. С точки зрения дифференциальных уравнений исследование Ж. сводится к изучению уравнений смешанного типа.

Лит.:[1] Ефимов Н. В., "Успехи матем. наук", т. 3, в. 2, 1948, с. 47-158; [2] Кон-Фоссен С. Э., Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959; [3} Сабитов И. X., "Матем. сб.", 1975, т. 98, № 1, с. 113-29; 1976, т. 99, № 1, С. 49 57.

И. X. Сабитов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985