Математическая энциклопедия - жиро условия

условия разрешимости в классич. смысле основных краевых задач для линейного эллиптич. уравнения 2-го порядка. Пусть в ограниченной TV-мерной области Dс границей Г задано эллиптич. уравнение

Требуется найти функцию и(х), к-рая: 1) принадлежит классу 2) удовлетворяет в области Dуравнению (*); 3) на границе Г удовлетворяет условию и(х)=j(х). (первая краевая задача, или задача Дирихле), или условию

(вторая краевая задача, или задача Неймана), или условию (третья краевая задача). Здесь v направление конормали, его направляющие косинусы равны.

пвнешняя нормаль к границе Г, lпроизвольное направление, для к-рого для всех знак + показывает, что берется предельное значение изнутри области D.

Жиро условия разрешимости указанных краевых задач состоят в следующем. Если коэффициенты aij(x), bi(x), c(x)оператора Lпринадлежат в области (D+Г )классу С ^{(0, m)}, правая часть уравнения f(x) С ^{(0, m)} краевое условие и b(x)С ⁽⁰⁾ (Г) (для второй и. третьей краевых задач), (для третьей краевой задачи), а граница Г области Dпринадлежит классу А ^(1,m), то для первой, второй и третьей краевых задач справедлива альтернатива Фредгольма, т. е. либо соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение и тогда неоднородная задача имеет единственное решение при любых f и j, либо однородная задача имеет р,линейно независимых решений u1, . .., и р и тогда неоднородная задача разрешима лишь в случае, если ропределенных линейных функционалов от f и j обращаются в нуль, причем при выполнении этого последнего условия неоднородная задача имеет бесконечно много решений, и если и 0 -одно из этих решений, то общее решение представимо в виде где с i произвольные постоянные. В случае, когда коэффициенты оператора Lявляются более гладкими так что можно рассматривать сопряженный оператор L*, требование обращения в нуль линейных функционалов от f и j сводится к ортогональности f и j ко всем рлинейно независимым решениям однородной сопряженной задачи. Ж. у. получены Ж. Жиро [1] [3]. Лит.:.[1] Giraud G., "С. r. Acad. sci.", 1936, t. 202, p. 380-82; [2] eго же, "Bull. soc. math. Prance", 1932, t. 56, p. 248-72, 281-312, 316-52; [3] eго же, "J. math, pures et appl.", 1939, t. 18, p. 111-43; [4] Mиранда К., Уравнения с частными производными эллиптического типа, пер. с итал., М., 1957.

И. А. Шишмарев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985