Математическая энциклопедия - жорданова матрица

квадратная блочно-диагональная матрица J над полем к, имеющая вид

где Jm(l)квадратная матрица порядка твида

Матрица J т(l)называется жордановой клеткой порядка m с собственным числом к. Каждая клетка определяется элементарным делителем (см. [5]).

Для произвольной квадратной матрицы Анад алгебраически замкнутым полем квсегда существует такая квадратная невырожденная матрица Снад k, что С ^-1 АС является Ж. м. (иначе говоря, A подобна над кнекоторой Ж. м.). Это утверждение справедливо и при более слабых ограничениях на поле k:для того чтобы матрица Абыла подобна над кнек-рой Ж. м., необходимо и достаточно, чтобы поле ксодержало все корни минимального многочлена матрицы А. Матрица С ^-1 АС, указанная выше, наз. жордановой формой (или жордановой нормальной формой) матрицы A. Такая нормальная форма рассматривалась одним из первых К. Жорданом [1] (см. также историч. очерк к гл. VI и VII книги [2]).

Жорданова форма матрицы определена не однозначно, а с точностью до порядка жордановых клеток. Точнее, две Ж. м. подобны над кв том и только в том случае, когда они составлены из одних и тех же жордановых клеток и отличаются друг от друга лишь расположением этих клеток на главной диагонали. Количество С т(k)жордановых клеток порядка тс собственным числом кв жордановой форме матрицы Аопределяется формулой

где Еединичная матрица того же порядка п, что и А, rk Вранг матрицы В, а rk (А-lE)⁰, по определению, равен п.

Помимо жордановой нормальной формы, имеется и ряд других типов нормальных форм матрицы. К их рассмотрению прибегают, напр., когда хотят исключить неоднозначность приведения к жордановой форме или когда основное поле не содержит всех корней минимального многочлена матрицы (см. [2] [5]).

С точки зрения теории инвариантов Ж. м.это канонич. представители в орбитах присоединенного представления для полной линейной группы. Нахождение аналогичных представителей для произвольной редуктивной алгебраич. группы является пока (1978) нерешенной до конца задачей (см. [6], [7]).

Лит.:[1] Jordan С, Traite des substitutions et des equations algebriques, P., 1870, p. 114-25; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Гантмахер Ф. Р., Теория матриц, 2 изд., М., 1966; [4] Ленг С, Алгебра, пер. с англ., М., 1968; [5]Мальцев А. И., Основы линейной алгебры, 4 изд., М., 1975; [6] Семинар по алгебраическим группам. Сб. статей, пер. с англ., М., 1973; [7] Steinberg R., в кн.: Тр. Международного конгресса математиков. Москва. 1966, М., 1968, с. 277-83.

В.