Математическая энциклопедия - звезда элемента функции

звезда Миттаг-Леффлера,звездообразная область, в к-рую данный элемент

I

аналитич. функции может быть аналитически продолжен по лучам, выходящим из его центра а.3. э. ф. состоит из тех точек комплексной плоскости z, к-рые можно достичь, аналитически продолжая элемент f(z)в виде степенного ряда вдоль всевозможных лучей, исходящих из центра элемента а. Е, сли при продолжении элемента вдоль данного луча z=a+re^ij, нельзя достичь произвольной точки этого луча, то на луче найдется точка такая, что продолжение возможно до любой точки интервала [a, z1), но далее неосуществимо. Если продолжение возможно в любую точку луча, то полагают Совокупность точек,

принадлежащих всем интервалам [a,z1) представляет собой (односвязную) звездообразную область относительно точки аэто и есть 3. э. ф. Sf. В результате аналитич. родолжения в Sf получают регулярную аналитпч. функцию f(z), являющуюся однозначной ветвью в Sf полной аналитич. функции, порождаемой данным элементом.

Все точки границы дSf3. э. ф. являются достижимыми граничными точками. В вопросах аналитического продолжения (см. также Адамара теорема )различают также угловые, доступные и хорошо доступные точки границы dSf. Точка наз. угловой точкой границы 3. э. ф., если она имеет наименьший модуль |z1| среди всех точек дSf с тем же аргументом arg z1. Точка наз. доступной точкой границы 3. э. ф., если существует полукруг V(z1 )такой, что f(z)регулярна всюду внутри V(z1 )и в точках его диаметра, отличных от z1. Точка наз. хорошо доступной (или хорошо достижимой) точкой границы З. э. ф., если существует угол V(z1) с вершиной zt раствора больше p и такой, что f(z) регулярна в области {V(z1)(|z-z1| <d)} при достаточно малом d>0.

Г. Миттаг-Леффлер [1] показал, что регулярную функцию f(z) в ее звезде Sf можно представить в виде равномерно сходящегося внутри Sf ряда многочленов

Формула (*) низ. Миттаг-Л еффлера разложением в звезде. Здесь степени многочленов k п и коэффициенты c0⁽ⁿ⁾, c1⁽ⁿ⁾, ..., ckn⁽ⁿ⁾, n=0, 1, .... не зависят от вида f(z) и могут быть вычислены раз навсегда. Такое вычисление было проделано П. Пенлеве (P. Painleve; см. [2], [3]).

Лит.:[1] Mittag-Leffler G., "Acta math.", 1900, v. 23, p. 43-62; 1901, v. 24, p. 183-204, 205-44; 1902, v. 26, p. 353-93; 1905, v. 29, p. 101 82; [2] Mapкушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968, гл. 8; [3] Воrel E., Lecons sur les fonctions de variables reelles et les developpements en series de polynomes, P., 1928.

E. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985