Математическая энциклопедия - бейесовский подход эмпирический

статистич. интерпретация бейесовского подхода к построению выводов о ненаблюдаемых значениях случайных параметров при неизвестном их априорном распределении. Пусть случайный вектор, причем предполагается, что плотность условного распределения Yпри любом заданном значении случайного параметра известна. Если в результате нек-рого эксперимента наблюдается лишь реализация Y, а соответствующая реализация Xнеизвестна и требуется оценить значение заданной функции от ненаблюдаемой реализации, то согласно Б. п. э. в качестве приближенного значения следует использовать условное математич. ожидание Е{j(Х)|Y}, к-рое в силу Бейеса формулы выражается отношением

плотность безусловного (априорного) распределения соответствующая -конечная мера; функция представляет собой плотность безусловного распределения .

Если априорная плотность неизвестна, то вычисление значений невозможно. Однако, если имеется достаточно большое количество реализаций независимых случайных величин подчиняющихся распределению с плотностью то для можно построить состоятельную оценку зависящую лишь от Для оценки значения Бернштейн [1] предложил заменить в (2) и найти решение этого интегрального уравнения, а затем подставить в правую часть (1). Однако этот путь затруднителен, так как решение указанного интегрального уравнения принадлежит к числу некорректно поставленных задач вычислительной математики.

В нек-рых исключительных случаях статистич. подход может быть применен не только для оценки , но и (см. [3]). Такая возможность возникает тогда, когда справедливо тождество относительно

где функции, зависящие лишь от у, а как функция от zявляется плотностью вероятности (т. е. ее можно рассматривать как плотность условного распределения нек-рой случайной величины при заданном значении ). Если (3) справедливо, то числитель отношения (1) равен произведению плотность безусловного распределения Z. Т. о., если имеется достаточно большое количество реализаций независимых случайных величин подчиняющихся распределению с плотностью , то для можно построить состоятельную оценку , а значит, и найти состоятельную оценку для :

Напр., если требуется оценить , причем , то , где Так как здесь . Поэтому т. е. для отыскания нужна лишь последовательность реализаций Если же целое > 0 ; ), то , где и . Поэтому для построения в этом случае нужно иметь две последовательности эмпирических значений и .