Математическая энциклопедия - билинейное отображение

билинейная функция,отображение f произведения левого унитарного A-модуля Vи правого унитарного В- модуля -бимодуль Н, удовлетворяющее следующим условиям:

здесь произвольно выбранные элементы, кольца с единицей. Тензорное произведение над имеет естественную структуру -бимодуля. Пусть канонич. отображение, тогда любое Б. о. f индуцирует гомоморфизм бимодулей для к-рого Если и коммутативно, то множество всех Б. о. является -модулем относительно обычным образом определяемых операций сложения и умножения на элементы из A, а соответствие '.устанавливает канонич. изоморфизм A-модуля и A-модуля всех A-линейных отображений в Н.

Пусть свободные модули с базисами и , соответственно. Б. о. f полностью определяется заданием , для всех поскольку для любых конечных подмножеств имеет место формула

И обратно, при произвольном выборе элементов формула (*), где определяет Б. о. в Н. Если I и J конечны, матрица называется матрицей Б. о. f относительно данных базисов.

Пусть задано Б. о. Элементы наз. ортогональными относительно f, если . Подмножества. и наз. ортогональными относительно f, если всякий ортогонален всякому . Если X - подмодуль в V, то подмодуль в W, наз. ортогональным подмодулем, или ортогональным дополнением, к X. Аналогично определяется ортогональное дополнение к подмодулю Y в W. Отображение f наз. вырожденным справа (соответственно слева), если (соответственно ). Подмодули и наз. соответственно левым и правым ядром Б. о. f. Если и , то f наз. невырожденным, ав противном случае вырожденным. Отображение f наз. нулевым, если и .

Пусть семейство левых A-модулей, семейство правых B-модулей, Б. о. в Н, V - прямая сумма A-модулей , а прямая сумма В-модулей Wi. Отображение , определяемое правилом является Б. о. и наз. прямой суммой отображений . Эта сумма ортогональна, т. е. подмодуль ортогонален подмодулю Wj относительно f при .

Б. о. f невырождено тогда и только тогда, когда невырождено для всех ; при этом

В случае А=В =Н Б. о. наз. билинейной формой.

Лит.:[1]Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [2] Ленг С., Алгебра, пер. с англ., М., 1968. В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985