Математическая энциклопедия - чебышева теоремы

о простых числах теоремы 1)-8) о распределении простых чисел, доказанные П. Л. Чебышевым [1] в 1848-50.

Пусть число простых чисел, не превосходящих x, т целое p простое число, ln инатуральный логарифм и,

1) Для любого тсумма ряда

имеет конечный предел при

2) Как бы ни было мало а>0, a т велико, функция бесконечное число раз удовлетворяет каждому из неравенств:

3) Частное при не может иметь предела, отличного от 1.

4) Если функция может быть выражена до количества порядка хln^-n х включительно алгебраически в х,ln х, е ^х, то таким выражением является выражение (*).

После этого П. Л. Чебышев ввел две новые функции распределения простых чисел и Чебышева функции

и установил фактич. порядок роста этих функций. Отсюда впервые им получен фактнч. порядок роста числа простых чисел и n-го простого числа Р п. Точнее, он доказал:

5) Для x>1 при имеют место неравенства

6) Для х, начиная с нек-рого х 0. имеют место неравенства

7) Существуют постоянные a > 0, .>0 такие, что n-е простое число Р п, для всех п =1, 2, ... удовлетворяет неравенствам anln .< Р n < Anln n.

8) В интервале ( а,2a-2) при а>3 лежит, по крайней мере, одно простое число (постулат Бертрана).

Главная идея метода доказательства 1)4) состоит в изучении поведения величин

и их производных при В основе метода вывода 5)-8) лежит тождество Чебышева:

Лит.:[1] Чeбышев П. Л., Полн. собр. соч., т. 1, Теория чисел, М. Л., 1944.

А. Ф. Лаврик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985