Математическая энциклопедия - четаева уравнения

общие канонич. уравнения механики голономных систем, представимые с помощью нек-рой группы Ли бесконечно малых преобразований и эквивалентные Пуанкаре уравнениям.

Если вместо независимых переменных определяющих действительные перемещения, ввести величины

функция Лагранжа, то уравнения Пуанкаре примут более простой вид Ч. у.

где

-функция Гамильтона. Вторую группу уравнений (1) можно заменить уравнениями

Вводя функцию действия по формуле

где интегрирование происходит по действительной траектории системы, можно получить соотношения

Здесь обозначают операторы отнесенные к начальному моменту времени t0 и начальному положению системы начальные значения Если функция действия известна, то уравнения (3) решают задачу механики, причем вторая группа уравнений (3) определяет в неявном виде закон движения системы. Функция действия удовлетворяет дифференциальному уравнению с частными производными 1-го порядка

Если известен полный интеграл V(t, x1, ..., х п, a1, ... ..., an) уравнения (4), то решения Ч. у. определяются соотношениями

где ai, bi - произвольные постоянные, стесненные п-k проинтегрированными уравнениями связей.

Вместо переменных xi могут быть рассмотрены новые переменные определяющие положение системы. Пусть As , s = 1, ..., kпредставляют (k+ 1)-членную группу непрерывных преобразований Ли в переменных со структурными постоянными причем и -переменные, определяющие возможные и действительные перемещения, так что для нек-рой функции

Преобразование переменных определяется характеристич. функцией

и формулами

вместе с проинтегрированными уравнениями связей. Такие преобразования наз. канонич. преобразованиями, они сохраняют канонич. вид уравнений движения, причем функция Гамильтона в новых переменных принимает вид

Если характеристич. функция преобразования является полным интегралом уравнения (4) ( при то функция H* = 0 и Ч. у. (1), (2) в новых переменных принимают вид

т. е. .= l, ..., п, s = l,..., k. Линейная форма определяет основной относительный интегральный инвариант динамики.

Условие того, что f(t, x1, ..., х п, y1, ..., yk)=const, есть первый интеграл Ч. у., имеет вид где

скобка Пуассона.

Если f=а и g=b являются первыми интегралами, то интегралом будет и (f, g)=с (обобщение Пуассона теоремы).

Ч. у. выведены H. Г. Четаевым [1]-[3], разработавшим и их теорию.

Лит.:[1] Четаeв H. Г., лС. r. Acad. sci.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985