Математическая энциклопедия - чисел теория

вероятностная в широком смысле раздел теории чисел, в к-ром используются идеи и методы теории вероятностей.

Под вероятностной Ч. т. в узком смысле понимается статистич. теория распределения значений арифметических функций.

Подавляющее большинство арифметич. функций, изучаемых в теории чисел, являются аддитивными или мультипликативными, их значения обычно распределены очень сложно. Если проследить за изменением значении таких функций, когда аргумент пробегает последовательные натуральные числа, получится весьма хаотическая картина, к-рая обычно наблюдается при рассмотрении аддитивных свойств целых чисел совместно с мультипликативными. В классич. исследованиях при рассмотрении распределения значений действительных арифметич. функций f(m)обычно изучалось асимптотич. поведение самой функции f(т) или ее среднего значения. В первом случае ищутся простые функции чтобы было для всех тили хотя бы для всех достаточно больших т. Напр., если означает число всех различных простых делителей числа т, то для всех т>1, при

Во втором случае рассматривается поведение

Для среднее значение (1) равно (1+о(1) ln lnn). Решение как первой, так и второй задачи в общем случае дает мало информации о поведении функции f(m), об ее колебаниях. Функция может значительно отклоняться от своего среднего значения. При этом оказывается, что большие отклонения встречаются вообще довольно редко. Ставится задача отыскания границ, в к-рых могут колебаться значения функции f(m)для подавляющего большинства значении аргумента.

Если f(m) действительная аддитивная арифметич. функция,

где суммы берутся по простым числам . ипо степеням простых чисел то

где с - абсолютная константа. Следовательно, для любого t>0 и всех за исключением чисел, имеет место неравенство

(аналог теоретико-вероятностного больших чисел закона). Для функции это неравенство можно записать в виде

Пусть через Nn(. . .) обозначено число натуральных удовлетворяющих условиям, к-рые будут указываться в скобках вместо многоточия. Желая более точно охарактеризовать распределение значении действительных арифметич. функций f(т), приходят к рассмотрению асимптотич. поведения частоты

при где Е - любое борелевское множество. Среди асимптотич. законов для (3) наибольший интерес представляют законы двух типов: интегральные и локальные.

Интегральные законы. Изучается асимптотич. поведение функции распределения

при и ладанных С п, Dn.

В случае арифметических аддитивных функции ищутся условия, при к-рых Fn(Cn+Dnx) стремится к нек-рой функции распределения F(х)во всех ее точках непрерывности. При этом, если F(х)нe вырождены, то Dn обязательно должно стремиться к конeчному (отличному от 0) или бесконечному пределу.

В случае конечного предела достаточно ограничиться рассмотрением Fn(Cn+x). Для того чтобы Fn(Cn+x) с какими-либо С n при имела невырожденное предельное распределение, необходимо и достаточно, чтобы f(т) имела вид где а - константа, а функция g(m)удовлетворяет условиям

При этом С n должны быть равными

С - константа. Выбор С п однозначен с точностью до слагаемых C+o(l). Предельное распределение является дискретным, когда и непрерывным в противном случае.

В частности, Fn(x)(случай С n=0) тогда и только тогда имеет предельное распределение, когда сходятся ряды

(аналог теоретико-вероятностной теоремы о трех рядах).

Случай не исследован до конца. Ниже приведены нек-рые наиболее простые результаты, когда С п=А п и Dn= Bn определены формулами (2).

Если для всякого фиксированного

при (аналог условия Линдеберга, см. Линдеберга Феллера теорема), то

(нормальный закон). Если выполнено (4), то В п является медленно меняющейся функцией от ln. в смысле Карамата. Более того, если Bn является такой функцией, то для справедливости (5) условие (4) является необходимым.

Пусть Bn является медленно меняющейся функцией от ln п. Для того чтобы Fn( А п+ В п х )сходилась к предельному распределению с дисперсией 1, необходимо и достаточно, чтобы существовала такая неубывающая функция

что при для всех и, за исключением, быть может, u=0,

Характеристич. функция j(t) предельного закона в случае его существования определяется формулой

Изучается быстрота сходимости к предельному закону. Так, напр., если f(т)сильно аддитивная функция и

при то равномерно по x.

Для мультипликативных арифметич. функций имеют место аналогичные результаты.

Локальные законы. Изучается поведение при частоты при заданных с. В случае действительных аддитивных арифметич. функций эта частота всегда имеет предел, к-рый отличен от 0 лишь для не более чем счетного множества значений с. Пусть

не равные нулю пределы, причем хотя бы один такой предел существует. Тогда

и

Если f(т) принимает лишь целые значения,

то тогда и только тогда, когда

Изучается скорость сходимости к Существует такая абсолютная константа С, что для всех целых kи всех целозначных аддитивных арифметич. функций f(т) с условием f(р)=0 для всех простых р

Изучается также асимптотич. поведение частоты когда kn может расти вместе с п.

Лит.:[1] Кац М., Статистическая независимость в теории вероятностей, анализе и теории чисел, пер. с англ., М., 1963; [2] Кубилюс Й. П., Вероятностные методы в теории чисел, 2 изд., Вильнюс, 1962; [3] его же, в сб.: Актуальные проблемы аналитической теории чисел, Минск, 1974; [4] Линник Ю. В., Дисперсионный метод в бинарных аддитивных задачах, Л., 1961; [5] eго же, Эргодические свойства алгебраических полей, Л., 1967; [6] Постников А. Г., Эргодические вопросы теории сравнений и теории диофантовых приближений, М., 1966; [7] Elliоtt P. D. T. A., Probabilistic number theory, v. 1-2, N.-Y.Hdlb.В., 1979-80.

Я. П. Кубилюс.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985