Математическая энциклопедия - дельта-функция

d-функция , d-функция Дирака, d(х),функция, позволяющая записать пространственную плотность физич. величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в точке апространства Rn. Напр., плотность точечной массы т, находящейся в точке а, записывается с помощью Д.-ф. в виде md(х-а). Д.-ф. может быть определена формальным соотношением

для любой непрерывной функции f(x). Аналогично можно определить производные d^(k) (х). для Д.-ф.:

для класса функций f(x), непрерывных в Rn со своими производными f^(k)>(x)до порядка квключительно. Часто используемые формальные операторные соотношения, выражающие свойства Д.-ф.:

и т. п., следует понимать в смысле данных выше определений, т. е. эти соотношения приобретают смысл лишь после интегрирования их с достаточно гладкими функциями. Таким образом, Д.-ф. не является обычной функцией в смысле классич. теории функций и определяется в теории обобщенных функций как сингулярная обобщенная функция, т. е. как непрерывный линейный функционал в пространстве бесконечно дифференцируемых финитных функций f(x), который сопоставляет f(x)ее значение в нуле: (d, f)= f(0).

В. Д. Кукин.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985