Математическая энциклопедия - эмпирическое распределение

распределение выборки, распределение вероятностей, к-рое определяется по выборке для оценивания истинного распределения. Пусть результаты наблюдений Х 1, . . ., Х п - взаимно независимые и одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения и пусть X(1)< X(2)< . . . <X(n)соответствующий вариационный ряд. Эмпирическим распределением, соответствующим Х 1, . . ., Х п, наз. дискретное распределение, приписывающее каждому значению Х k вероятность 1/n. Функция Э. р. наз. эмпирической функцией; распределения, является ступенчатой функцией со скачками, кратными 1/п, в точках, определяемых величинами Х (1), . . ., Х (п):

При фиксированных значениях Х 1, . . ., Х п функция обладает всеми свойствами обычной функции распределения. При каждом фиксированном действительном хфункция является случайной величиной как функция Х 1, . . ., Х п. Таким образом, Э. р., соответствующее выборке Х 1, . . ., Х п, задается семейством случайных величин зависящих от действительного параметра х. При этом для фиксированного x

и

В соответствии с законом больших чисел при каждом х. Ото означает, что несмещенная и состоятельная оценка функции распределения Функция Э. р. равномерно по хсходится с вероятностью 1 к при или, если

то

(теорема Гливенко Кантелли).

Величина Dn служит мерой близости к А. Н. Колмогоров (1933) нашел предельное распределение:

для непрерывной функции

Если неизвестна, то для проверки гипотезы о том, что эта функция есть заданная непрерывная функция применяются критерии, основанные на статистиках типа Dn (см. Колмогорова критерий, Колмогорова Смирнова критерий, Непараметрические методы статистики).

Моменты и любые другие характеристики Э. р. наз. выборочными (эмпирическими) моментами и характеристиками, напр.:

выборочное среднее,

выборочная дисперсия,

выборочный момент r- го порядка.

Выборочные характеристики служат статистич. оценками соответствующих характеристик исходного распределения.

Лит.:[1] Большев Л. Н., Смирнов Н. В., Таблицы математической статистики, 3 изд., М., 1983; [2] Ван дер Варден Б. Л., Математическая статистика, пер. с нем., М., 1960; [3] Боровков А. А., Математическая статистика, М., 1984.

А.