Математическая энциклопедия - фигур многообразие

многообразие, образующими элементами к-рых являются различные фигуры рассматриваемого однородного пространства. С аналитич. точки зрения наиболее простыми фигурами являются алгебраич. линии и поверхности. Поэтому в основном исследовались многообразия (как правило, в евклидовом, аффинном и в проективном пространствах), образующими элементами к-рых являются точки, прямые линии, плоскости, окружности, сферы, коники, квадрики и их многомерные аналоги.

m-мерное многообразие фигур F. ранга Nопределяется замкнутой системой дифференциальных уравнений

где -левые части уравнений стационарности фигуры Fи -формы Пфаффа, возникающие при замыкании пфаффовых уравнений системы (1), причем Осуществляя последовательные продолжения системы (1), получают последовательность фундаментальных объектов многообразия выделяют из нее основной объект многообразия и осуществляют инвариантное построение дифференциальной геометрии многообразия.

Дифференциальная геометрия линейчатых многообразий разработана достаточно глубоко. Простейшими многообразиями с нелинейными образующими элементами являются многообразия коник. Со всяким одномерным многообразием С 1² коник в трехмерном пространстве (евклидовом, аффинном или проективном) ассоциируется торс Т, являющийся огибающей поверхностью плоскостей коник. Многообразие С 1² наз. фокальным или дефокальным в зависимости от того, касается коники образующая торса Тили нет. Двумерное многообразие (конгруэнция) коник в трехмерном пространстве имеет в общем случае шесть фокальных поверхностей и шесть фокальных семейств. Все коники конгруэнции касаются этих поверхностей. Конгруэнции коник с неопределенными фокальными семействами (всякие две смежные коники к-poй пересекаются с точностью до 2-го порядка малости) характеризуются принадлежностью всех коник конгруэнции одной квадрике. Конгруэнции коник, плоскости к-рых образуют однопараметрич. семейство, имеют одно счетверенное фокальное семейство, к-рому соответствуют четыре фокальные точки пересечения двух смежных коник, принадлежащих одной плоскости. Две другие фокальные точки являются точками пересечения коники с характеристикой ее плоскости.

Конгруэнция К 2 квадрик в Р 3 имеет в общем случае восемь фокальных поверхностей, к-рых касаются все квадрики конгруэнции. Точка квадрики F=0конгруэвции К 2, определяемая вдоль любого направления системой уравнений F=0, dF=0, . . ., d^mF=0, наз. ее фокальной точкой порядка т. Фокальная точка 2-го порядка является четырехкратной точкой 1-го порядка; фокальная точка 3-го порядка является фокальной точкой любого порядка т>3. На каждой конике Стрехмерного многообразия (комплекса) коник существуют в общем случае шесть инвариантных точек (t-фокальные точки коники). Для каждой коники Скомплекса, плоскости к-poгo образуют двупараметрич. семейство, однозначно определяется коника С*, проходящая через характеристич. точку плоскости коники Си четыре точки пересечения коники со смежной коникой той же плоскости. Геометрич. свойства многопараметрич. семейств коник существенно зависят от числа параметров, характеризующих плоскости коник таких семейств.

Непосредственным обобщением коники в Р 3 является квадратичный элемент (n-2)-мерная невырожденная квадрика в Pn(n>3). Многообразием (h, т, n)² в пространстве Р п наз. m-параметрич. семейство квадратичных элементов, гиперплоскости к-рых образуют h-параметрич. семейство. Многообразия (h, h,3)², h=l, 2, 3, являются наиболее общими однопараметрич. семействами, конгруэнциями и комплексами коник в Р 3. С каждым локальным квадратичным элементом многообразия (h, h, и)² при h<n ассоциируется (n-h-1)-мерное характеристич. поднространство и (h-1)-мерное полярное подпространство. Рангом многообразия (h, h, n)² наз. число R, равное n-h-1-v, где v размерность подпространства, но к-рому характеристич. подпространство пересекается с его полярным пространством.

Дифференциальную геометрию многообразия ( и, п, п)² можно рассматривать как геометрию нек-рой регулярной гиперповерхности (n+1)-мерного тангенцального центронроективного пространства в к-ром исходное n-мерное пространство играет роль неподвижной точки.

Квадрика размерности пространства Р п всегда лежит в (р+1)-мерном подпространстве. Алгебраич. поверхности порядка k>2 этим свойством в общем случае не обладают. При исследовании многообразий алгебраич. поверхностей оказалось целесообразным выделить семейства поверхностей таких, к-рые лежат в плоскостях на единицу большей размерности. Невырожденная (n-2)-мерная алгебраич. поверхность порядка k, принадлежащая гиперплоскости Р п-1. пространства Р п, наз. плоским алгебраич. элементом порядка k. Многообразием (h, т, n)^k наз. m-мерное многообразие плоских алгебраич. элементов порядка k, гиперплоскости к-рых образуют h-параметрич. семейство. Фундаментальный объект 1-го порядка является основным объектом многообразия (h, т, n)^k.

В применениях геометрии к гидромеханике, теории поля и дифференциальным уравнениям используются многообразия линий и поверхностей, не являющихся в общем случае алгебраическими. Изучение таких многообразий представляет и самостоятельный интерес для геометрии. Криволинейной конгруэнцией в трехмерном пространстве наз. двупараметрич. семейство Г t кривых x=x(t, и, v )такое, что через каждую точку пространства проходит в общем случае единственная кривая семейства. При фиксированных ии vвыделяется кривая Ct семейства Г t; при фиксированном tи переменных и, v выделяется поверхность suv,называемая трансвереальной поверхностью конгруэнции Г t Точки кривой С t, в к-рых (xxtxuxv)=0. наз. фокальными точками. Совокупность фокальных точек кривых Ct конгруэнции Г t образует фокальную поверхность конгруэнции. Поверхность v=v(u)конгруэнции Г t, на к-рой кривые Ct имеют огибающую, наз. главной поверхностью конгруэнции Г t.

Лит.:[1] Малаховский В. С., в кн.: Итоги науки и техники. Проблемы геометрии, т. 12, М., 1981, с. 31-60.

В. С. Малаховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985