Математическая энциклопедия - квадрика

1) К.поверхность 2-го порядка. В трехмерном пространстве (проективном, аффинном или евклидовом) К. есть множество точек, однородные координаты х 0, х 1, х 2, х 3 к-рых (относительно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют однородному уравнению 2-й степени:

Билинейная симметричная форма

наз. полярной формой относительно F(x). Две точки М'( х'0, х'1, х'2, х'3), М"( х"0, х"1, х"2, х"3), для которых Ф ( х', х") =0, наз. полярно сопряженными точками относительно К. Если прямая ( М', М" )пересекает К. в точках N1, N2 и точки М', М" полярно сопряжены относительно К., то точки N1, N2 и М', М" образуют гармоническую четверку. Точки К. и только они являются самосопряженными. Прямая, каждая точка к-рой принадлежит К., наз. прямолинейной образующей К. Полюсом данной плоскости относительно К. наз. точка, полярно сопряженная со всеми точками этой плоскости. Множество точек пространства, полярно сопряженных с данной точкой М' относительно К., наз. полярой точки М' относительно К. Касательная плоскость к К.поляра точки касания. Поляра точки М' определяется линейным уравнением Ф ( х, х') =0относительно координат х 0, х 1, х 2, х 3. Если то поляра точки М'плоскость; если то поляра точки М'все пространство. В этом случае точка М' принадлежит К. и наз. ее особой точкой. Если число R = rang(aij) = 4, то К. не имеет особых точек и наз. невырождающейся К. В проективном пространстве это мнимый овалоид, действительный овалоид или линейчатая К. Невырождающаяся К. определяет корреляцию биективное отображение множества точек проективного пространства на множество плоскостей. Линейчатая невырождающаяся К. имеет два различных семейства прямолинейных образующих, расположенных на К. так, что всякие две прямые одного семейства не пересекаются, а две прямые разных семейств пересекаются в одной точке. Если R=3, то К. является конусом (действительным или мнимым) с вершиной в единственной особой точке. Действительный конус имеет единственное семейство прямолинейных образующих, проходящих через его вершину. Если R=2, то К. распадается на пару плоскостей (действительных или мнимых), пересекающихся по прямой, состоящей из особых точек. Если R=1, то К. является сдвоенной действительной плоскостью, образованной особыми точками К. Аффинные свойства К. выделяются спецификой расположения К., ассоциированных с ней точек, прямых и плоскостей относительно выделенной плоскости x0=0 несобственной плоскости. Напр., эллипсоид (гиперболоид, параболоид) невырожденная К., не пересекающая (пересекающая, касающаяся) несобственную плоскость. Центр К.полюс несобственной плоскости; диаметр прямая, полярно сопряженная несобственной прямой.

Лит.:[1] Фиников С. П., Аналитическая геометрия, 2 изд., М., 1952; [2] Ефимов Н. В., Краткий курс аналитической геометрии, 5 изд., М., 1960.

В. С. Малаховский.

2) К. в алгебраической геометрии проективное алгебраическое многообразие, определяемое однородным квадратным уравнением

в проективном пространстве Р ^п над основным полем k. Пусть далее основное поле алгебраически замкнуто с характеристикой, не равной 2. Пусть QК. в Р ^п и s(Q)множество ее особых точек. Тогда s(Q)пустое множество, если и только если rk(Q)=n+l, где rk(Q)ранг соответствующей квадратичной формы. Если s{Q )не пусто, то Qконус над гладкой К. размерности rk(Q)-1, вершиной к-рого является проективное подпространство s(Q)в Р ^п размерности п-rk(Q). Все К. с rk(Q)=r проективно эквиваленты К.

Пусть s (Q)пусто и линейное подпространство максимальной размерности (оно наз. образующей квадрики Q), тогда

а) если dim Q=2m, то dim E=m;

б) если dim Q=2m+1, то dim E=m.

Кроме того, семейство всех подпространств Емаксимальной размерности на Qявляется замкнутым неособым подмножеством Gграссманова многообразия подпространств размерности dim Eв Р ^п, причем, если dim Q-2m, то Gi, i=i,2,непересекающиеся неособые неприводимые рациональные многообразия одинаковой размерности (2^m+1), a Eи Е' принадлежат одной и той же компоненте, если и только если

Если же dim Q=2m+l, то Gявляется неособым и неприводимым рациональным многообразием размерности (2^m+2)

В случае, когда s(Q)пусто и dim Q=2, если же то

Любая К. рациональна: бирациональный изоморфизм К. Qс проективным пространством задается стереографич. проекцией К. Qиз нек-рой точки

Многообразия, являющиеся полными пересечениями К., изучаются с точки зрения бирациональной геометрии [3]. Пересечения двух К. изучены в [2], трех в [4].

Любое проективное многообразие Xможет быть так погружено в проективное пространство P^N (для достаточно большого N), что его образ является пересечением (как правило, неполным) К., его содержащих [1].

Изучение К. над незамкнутыми полями тесно связано с арифметикой квадратичных форм.

Лит.:[1] Mumlord D., С. I. M. E. III ciclo. Varenna, 1969, Roma, 1970, p. 29-100; [2] Reid M., The complete intersection of two or more quadrics, These D. Ph. Cambridge Univ., 1972; [3] Roth L., Algebraic threefols (with special regard to problems of rationality), B.-Hdlb.-N.Y., 1955; [4] Тюрин А. Н., "Успехи матем. наук", 1975, т. 30, № 6, с. 51-99.

В. А. Искоеских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985