Математическая энциклопедия - кватернионов группа

метабелева 2-группа порядка 8, задаваемая в образующих х, у определяющими соотношениями

К. г. может быть изоморфно вложена в мультипликативную группу алгебры кватернионов (вложение определяется соответствием ). Более того, алгебра кватернионов является групповой алгеброй К. г. над полем действительных чисел. Соответствие

задает точное представление К. г. матрицами 2-го порядка с комплексными элементами.

Обобщенная группа кватернионов (частным случаем к-рой при n=2 является К. г.) группа, задаваемая в образующих хи уопределяющими соотношениями

(где пфиксированное число). Эта группа является 2-группой порядка 2ⁿ⁺¹ и класса нильпотентности п. К. г. является гамильтоновой группой и минимальной гамильтоновой группой в том смысле, что любая гамильтонова группа содержит подгруппу, изоморфную К. г. Пересечение всех неединичных подгрупп К. г. (а также любой обобщенной К. г.) является неединичной подгруппой. Всякая некоммутативная конечная группа, обладающая этим же свойством, будет одной из обобщенных К. г. Среди конечных абелевых групп таким свойством обладают циклические р-группы и только они. Обобщенные К. г. и циклические р-группы являются единственными р-группами, допускающими собственный L-гомоморфизм, т. е. гомоморфизм решеток подгрупп на нек-рую решетку L, не являющийся изоморфизмом.

Иногда термин "К. г." используется для обозначения различных подгрупп мультипликативной группы алгебры кватернионов и соответствующих топологич. групп.

Лит.:[1] Xолл М., Теория групп, пер. с англ., М., 1962.

Н. Я. Вильямc.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985