Математическая энциклопедия - квазициклическая группа

группа типа бесконечная абелева р-группа, все собственные подгруппы к-рой циклические. Для каждого простого рсуществует едийственная с точностью до изоморфизма К. г. Эта группа изоморфна мультипликативной группе всех корней уравнений

в поле комплексных чисел с обычным умножением, а также факторгруппе Qp/Z р, где Qpаддитивная группа поля рациональных р-адических чисел, а Z р- аддитивная группа кольца всех целых р-адических чисел. К. г. есть объединение возрастающей последовательности циклич. групп С п порядка р ^п, и=1, 2, ... , точнее индуктивный предел

относительно индуктивной системы ( С п,jn). В терминах образующих и определяющих соотношений эта группа может быть определена как группа со счетной системой образующих a1, а 2, ... , а п,... и определяющими соотношениями

К. г. являются единственными бесконечными абелевыми (а также единственными локально конечными бесконечными) группами, все подгруппы к-рых конечны. Вопрос о существовании бесконечных неабелевых групп с указанным свойством еще не решен (1978) и составляет одну из проблем О. Ю. Шмидта.

К. г. являются полными абелевыми группами, и всякая полная абелева группа есть прямая сумма нек-рого множества групп, изоморфных аддитивной группе рациональных чисел и К. г. для нек-рых простых чисел р. Группы типа являются максимальными р-подгруппами мультипликативной группы комплексных чисел, а также максимальными р-подгруппами аддитивной группы рациональных чисел по модулю 1. Кольцо эндоморфизмов группы типа р°° изоморфно кольцу целых р-адических чисел. К. г. совпадает со своей Фраттини подгруппой.

Лит.:[1] Курош А. Г., Теория групп, 3 изд., М., 1967; [2] Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И., Основы теории групп, М., 1972.

Н. Н. Вильямс.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985