Математическая энциклопедия - квазиэллиптическое пространство

проективное га-пространство, проективная метрика к-рого определяется абсолютом, состоящим из совокупности мнимого конуса (абсолютный конус Q0 )с (п-т-1)-вершиной (абсолютная плоскость Т 0 )и мнимой (n-m-2)-квадрикой Q1 на этой (n- т-1)-плоскости (абсолютная квадрика Q1);обозначается символом S^mn, т<п. К. п. является пространством более общего проективного типа по отношению к евклидову пространству и коевклидову пространству, метрики последних получаются из метрики первого. К. п. является частным случаем полуэллиптических пространств. При m=0 абсолютный конус является парой слившихся (n-1)-плоскостей, совпадающих с (n-1)-абсолютной плоскостью Т 0, а абсолюты совпадают с абсолютом евклидова га-пространства. При т=п-1 конус Q0 является конусом с точечной вершиной, абсолют в этом случае совпадает с абсолютом коевклидова га-пространства. При m=1 конус Q0 является парой мнимых (n-1)-плоскостей. В частности, конус Q0 квазиэллиптического 3-пространства S¹3 является парой мнимых 2-плоскостей, прямая (1-плоскость) Т 0 является действительной прямой их пересечения, а квадрика Q1парой мнимых точек на прямой Т 0.

Расстояние d между двумя точками Xи Yопределяется в случае, когда прямая XY не пересекает (п-m-1)-плоскость Т 0, с помощью соотношения

где

векторы точек Xи Y, Е 0- линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов, р действительное число; в случае, когда прямая XY пересекает плоскость Т 0, расстояние dмежду этими точками определяется с помощью разности векторов точек Xи У:

где Е 1линейный оператор, определяющий скалярное произведение в пространстве этих векторов.

Угол между двумя плоскостями, (п-2)-плоскость пересечения к-рых не пересекается с (n-m-1)-плоскостью Т 0, определяется как (нормированное) расстояние между соответствующими точками в двойственном К. п. координаты к-рых численно равны или пропорциональны проективным координатам плоскостей в пространстве Если (n-2)-плоскость пересечения данных двух плоскостей пересекается с (п-m-1)-плоскостью Т 0, то угол между плоскостями и в этом случае определяется как нормированное расстояние. При n=2 углы между плоскостями являются углами между прямыми.

Движениями К. п. являются коллинеации этого пространства, переводящие конус Q0, плоскость Т 0 и квадрику Q1 в себя. Группа движений является группой Ли, а движения описываются ортогональными операторами. В К. п. двойственном самому. себе, определяются кодвижения корреляции, переводящие каждые две точки в две 2m-плоскости, угол между к-рыми пропорционален расстоянию между точками, а каждые две 2m-плоскости в две точки, расстояние между к-рыми пропорционально углу между плоскостями. Движения и кодвижения пространства S^m2m+1 образуют группу, являющуюся группой Ли. Геометрия 2-плоскости совпадает с геометрией евклидовой, а геометрия 2-плоскости с геометрией коевклидовой плоскости.

Геометрия 3-пространства определяется эллиптической проективной метрикой на прямых, коевклидовой на плоскостях и евклидовой в связках плоскостей. Геометрия 3-пространства совпадает с евклидовой, а геометрия 3-пространства с геометрией коевклидова 3-пространства. Пространство S с радиусом кривизны изометрично связной группе движений евклидовой 2-плоскости со специально введенной метрикой. Связная группа движений К. п. изоморфна прямому произведению двух связных групп движений евклидовой 2-плоскости.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969.

Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985