Математическая энциклопедия - квазисредних метод

конструктивная схема исследования систем со спонтанным нарушением симметрии, основанная на фундаментальной концепции квазисредних (Н. Н. Боголюбов [1], 1961).

Квазисредние термодинамические (в статистической механике) или вакуумные (в квантовой теории поля) средние от динамических величин в специальным образом модифицированной процедуре усреднения, позволяющей учесть эффекты влияния вырождения состояния системы.

В статистич. механике при спонтанном нарушении симметрии на основе К. м. могут быть описаны макроскопические наблюдаемые в рамках микроскопического подхода.

В задачах с вырождением одному уровню энергии отвечает более одного независимых состояний системы; среднее же значение (А)любой динамической величины Аопределенно однозначно:

где Hгамильтониан системы, b обратная температура. Если состояние статистического равновесия системы обладает более низкой симметрией, чем гамильтониан системы (так наз. спонтанное нарушение симметрии см. [2] [5]), то операцию усреднения (1) необходимо дополнить правилом, запрещающим "лишнее" усреднение по различным значениям рассматриваемой макроскопической величины, изменение к-рой не сопровождается изменением энергии.

Это достигается введением квазисредних, т. е. средних по гамильтониану, дополненному бесконечно малыми членами, нарушающими аддитивные законы сохранения. Термодинамические средние могут оказаться неустойчивыми по отношению к такому изменению исходного гамильтониана, что и свидетельствует о вырождении состояния статистического равновесия.

Итак, квазисреднее динамической величины Адля системы с гамильтонианом Нопределяется как предел

где через обозначено обычное среднее, взятое по гамильтониану Н v, содержащему малые нарушающие симметрию члены, вводимые параметром включения v, исчезающие при Согласно определению (2) обычное термодинамическое среднее получается дополнительным усреднением квазисреднего по группе нарушенной симметрии.

Значение квазисреднего (2) может зависеть от конкретной структуры добавочного члена D Н=Нv- Н, если усредняемая динамическая величина Анеинвариантна относительно группы симметрии исходного гамильтониана Н. При стремлении параметров включения источников v к нулю произвольным образом предел обычных средних (2) для вырожденного состояния не существует. Для полного определения квазисредних необходимо указать способ стремления этих параметров к нулю, обеспечивающий сходимость (см., напр., [5]). С другой стороны, для снятия вырождения достаточно нарушить при построении Hv лишь те аддитивные законы сохранения, "выключение" к-рых приводит к неустойчивости обычных средних. При этом для квазисредних не будут выполняться именно те правила отбора корреляционных функций, к-рые обусловлены указанными законами сохранения.

К. м. непосредственно связан с принципом ослабления корреляции (см. [8], [9]): корреляционные функции

где Us(xs, ts)полевые функции в Гейзенберга представленииY(xs, ts) илиY⁺(xs, ts), распадаются на произведение

если совокупность точек х 1, ..., xs-1 бесконечно удаляется от совокупности точек xs, . . . , х п при фиксированных временных переменных t1, t2, ..., tn. В случае вырождения рассматриваемого состояния выражения входящие в эту формулировку, с необходимостью должны пониматься как квазисредние: приведенная выше формулировка принципа ослабления корреляций становится прямо неверной, если считать обычными средними.

Для построения неравновесного статистического оператора рассматриваются бесконечно малые возмущения, нарушающие симметрию ( Лиувилля уравнения )относительно обращения времени. Применение этой операции эквивалентно отбору запаздывающих решений уравнения Лиувилля (см. [7]).