Математическая энциклопедия - квазирешение

обобщенное решение некорректных задач, к-рое (при достаточно общих условиях), в отличие от истинного решения, удовлетворяет условиям корректности по Адамару.

Пусть X, Yметрические пространства, Ммножество из X. Квазирешением уравнения

на множестве Мпри заданном y из У наз. элемент хиз М, минимизирующий уклонение r( Ах, у )при хиз М. Если уравнение (1) имеет на Мистинное решение х 0, то х 0 будет также и К.

Зависимость множества К. от уудобно представить как суперпозицию двух отображений

где А ^-1обращение (вообще многозначное) отображения А, а Роператор метрич. проектирования в пространстве Yна множество N=AM. Такая суперпозиция позволяет свести исследование свойств К. к исследованию отображений А ^-1 и Р. Напр., если множество Nчебышевское, а отображение А ^-1однозначно и непрерывно на N, то задача нахождения К. является корректной. Если Рили А ^-1 многозначны, то устойчивость множества Кформулируется в терминах Р-непрерывности (непрерывности функций от множеств).

Обычно в качестве Xи Y берутся линейные нормированные пространства, что позволяет получить наиболее полные и законченные результаты. Так, задача нахождения К. корректна, если У строго выпукло, Алинейный непрерывный обратимый оператор, Мвыпуклый компакт. Имеется ряд других комбинаций условий, обеспечивающих корректность задачи нахождения К., в к-рых одни условия усиливаются, другие ослабляются (напр., Алинейный замкнутый оператор, но У гильбертово).

Существует ряд способов задания множества М, обеспечивающих возможность эффективного нахождения К. Один из наиболее распространенных способов состоит в следующем. Рассматривается третье пространство Z(все или нек-рые из пространств X, Y, Z могут совпадать) и линейный оператор В:такой, что В ^-1неограничен. За множество М=М r принимается образ шара:

В такой форме задача нахождения К. является задачей математич. программирования: минимизировать функционал при ограничении Для гильбертовых Yи Zполучается задача квадратичного программирования.

В случаях корректности К. важное значение для приложений имеют оценки устойчивости, в к-рых дается зависимость При приведенном выше способе задания множества Мустойчивость К. характеризуется функцией:

Имеет место соотношение

где w(t, r) есть решение экстремальной задачи w(t, r)= sup ||Bz|| при

Для гильбертовых Zи Y имеются выражения для w(t, r) в замкнутой форме.

Лит.:[1] Иванов В. К., "Докл. АН СССР", 1962, т. 145, № 2, с. 270-72; [2] его же, "Матем. сб.", 1963, т. 61, Ms 2, с. 211-23; [3] Лисковец О. А., "Дифференциальные уравнения", 1971, т. 7, Mi 9, с. 1707-09; [4] Морозов В. А., в сб.: Итоги науки и техники. Математический анализ, т. 11, М., 1973, с. 129-78; [5] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я., Методы решения некорректных задач, М., 1974; [6] Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И., Вычислительные методы высшей математики, т. 1-2, Минск, 1972-75.

В. К. Иванов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985