Математическая энциклопедия - поляра

1) П. точки Ротносительно невырожденной линии 2-го порядка множество точек N, гармонически сопряженных с точкой Ротносительно точек М 1 и М 2 пересечения линии 2-го порядка секущими, проходящими через точку Р. Поляра является прямой линией. Точку Рназ. полюсом. Если точка Р лежит вне линии 2-го порядка (через точку Рможно провести две касательные к линии), то П. проходит через точки касания данной линии с прямыми, проведенными через точку Р(см. рис. 1). Если точка Рлежит на линии 2-го порядка, то П. является прямая, касательная к данной линии в этой точке. Если П. точки Рпроходит через точку Q, то П. точки Qпроходит через точку Р(см. рис. 2).

Всякая невырожденная линия 2-го порядка определяет биекцию точек проективной плоскости И множества ее прямых поляритет (полярное преобразование).

Соответствующие при этом преобразовании фигуры наз. взаимно полярными. Фигура, совпадающая со своей взаимно полярной, наз. автополярной (см., напр., автополярный трехвершинник PQR на рис. 2).

Аналогично определяется П. (полярная плоскость) нек-рой точки относительно невырожденной поверхности 2-го порядка.

Понятие П. относительно линии 2-го порядка обобщается на линии п-гопорядка. При этом заданной точке плоскости ставится в соответствие п-1 поляр относительно линии n-го порядка. Первая из этих П. является линией порядка п-1, вторая, являющаяся П. заданной точки относительно первой П., имеет порядок п-2 и т. д. и, наконец, (n-1)-я П. является прямой линией.

Лит.: [1] Ефимов Н. В., Высшая геометрия, 6 изд., М., 1978; [2] Постников М. М., Аналитическая геометрия, М., 1973. А. В. Иванов.

2) П. А ^o подмножества Алокально выпуклого топологического векторного пространства Е - множество функционалов/ из сопряженного пространства E', для к-рых для всех (здесь <x, f> значение fв х). Биполярой наз. множество векторов хпространства Е, для к-рых для всех .

П. выпукла, уравновешена и замкнута в слабой топологии. Биполяра является слабым замыканием выпуклой уравновешенной оболочки множества А. Кроме того, . Если A окрестность нуля в пространстве Е, то ее поляра является компактом в слабой * топологии (теорема Банаха Алаоглу).

П. объединения любого семейства {Аa}множеств из Еесть пересечение П. этих множеств. П. пересечения слабо замкнутых выпуклых уравновешенных множеств А a есть замкнутая в слабой * топологии выпуклая оболочка их П. Если Аподпространство в Е, то его П. совпадает с подпространством в Е', ортогональным к А.

За фундаментальную систему окрестностей нуля, определяющих слабую * топологию пространства Е', можно принять систему множеств вида М ^o, где Мпробегает все конечные подмножества пространства Е.

Подмножество функционалов пространства Е' равностепенно непрерывно тогда и только тогда, когда оно содержится в П. нек-рой окрестности нуля.

Лит.:[1] Эдварде Р., Функциональный анализ, пер. с англ., М., 1969. В.