Математическая энциклопедия - полярное разложение

1) П. р. линейного преобразования разложение линейного преобразования конечномерного евклидова (или унитарного) пространства Lв произведение самосопряженного и ортогонального (соответственно унитарного) преобразования. Каждое линейное преобразование Апространства Lдопускает П. р.

A=S^.U,

где S - положительно полуопределенное самосопряженное линейное преобразование, a U - ортогональное (или унитарное) линейное преобразование, причем Sопределяется единственным образом. Если Аневырожденно, то преобразование Sявляется даже положительно определенным, а Uтакже определяется однозначно. Для одномерного унитарного пространства П. р. совпадает с представлением комплексного числа z в тригонометрия, форме. А. Л. Онищик.

2) П. р. оператора представление оператора А, действующего в гильбертовом пространстве, в виде A = UT,

где U - частично изометрический, а Т - положительный операторы. Всякий замкнутый оператор Адопускает П. р., причем Т=( А*А)^1/2 (часто используют обозначение T=|A|), a Uотображает замыкание области определения сопряженного оператора Ана замыкание области значений оператора А(теорема Неймана, см. [1]). П. р. становится единственным, если потребовать, чтобы начальное и конечное подпространства оператора Uсовпадали соответственно с и . С другой стороны, Uвсегда можно выбрать унитарным, изометрическим или коизометриче-ским в зависимости от соотношения коразмерностей подпространств и RA. В частности, если

то можно выбрать Uунитарным и найти такой эрмитов оператор Ф, что U=ехр(iФ). Тогда П. р. оператора Азапишется в виде А = |A|ехр(iФ), полностью аналогичном П. р. комплексного числа. Перестановочность сомножителей в П. р. имеет место тогда и только тогда, когда оператор нормален.

Получен (см. [2], |3]) аналог П. р. для операторов в пространстве с индефинитной метрикой.

3) П. р. функционала на алгебре Неймана представление нормального функционала f на алгебре Неймана А в виде f= up, где р - положительный нормальный функционал на А,частичная изометрия (то есть и*и и ии*проекторы), умножение понимается как действие на функционал роператора, сопряженного к левому умножению на ив А:f(x)=p(ux).для всех . П. р. всегда можно осуществить таким образом, чтобы выполнялось условие: u*f=p. При этом условии П. р. определено однозначно.

Всякий ограниченный линейный функционал f на произвольной C*-алгебре Аможно рассматривать как нормальный функционал на универсальной обертывающей алгебре Неймана А";соответствующее П. р. f=up наз. обертывающим полярным разложением функционала f. Сужение функционала рна Аназывается абсолютной величиной функционала и обозначается |f|; следующие свойства однозначно определяют функционал

В случае, когда А=С (Х)-алгебра всех непрерывных функций на компакте, абсолютная величина функционала соответствует полной вариации определенной им меры.

П. р. функционала во многом позволяет сводить изучение функционалов на C*-алгебрах к изучению положительных функционалов. С его помощью, напр., можно построить для каждого такое представление p, алгебры А, в к-ром f реализуется векторно (т. е. существуют векторы x, h из Hp такие, что f(x) = (p(x)x, h), ),таким свойством будет обладать представление p|f|, построенное по положительному функционалу p|f| с помощью конструкции Гельфанда Наймарка Сегала ГНС-конструкции).

4) П. р. элемента С*- алгебры представление элемента С*-алгебры в виде произведения положительного элемента на частично изометрический. П. р. возможно не для всех элементов: в обычном П. р. оператора Тв гильбертовом пространстве положительный сомножитель принадлежит С*-алгебре, порожденной Т, но о частично изометрическом сомножителе можно утверждать лишь, что он принадлежит порожденной Талгебре Неймана. Поэтому определяют и используют т. н. обертывающее П. р. элемента : a=ut, где частично изометрич. элемент универсальной обертывающей алгебры Неймана А " (предполагается, что Аканонически вложена в А ").

Лит.:[1] Наймарк М. А., Нормированные кольца, 2 изд., М., 1968; [2] Воgnar J., "Stud. Scient. Math. Hung.", 1966, t. 1, № 1/2, p. 97-102; [3] Диксмье Ж., С*-алгебры и их представления, пер. с франц., М., 1974. В. С. Шульман.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985