Математическая энциклопедия - полуэллиптическое пространство

проективное n-пространство, в к-ром метрика определяется заданным абсолютом, состоящим из совокупности мнимого конуса 2-го порядка Q0 с (n-m0-1 )-плоской вершиной Т а,( п-т 0-2)-мнимого конуса Ql с (n т 1-1)-плоской вершиной Т 1 в (n-m0-1 )-плоскости Т а, (n-m1-2)-мнимого конуса Q2 с (n-m2-1 )-плоской вершиной Т 2 в ( п т 1 -1)-плоскости T1 и т. д. до ( п-mr-1-2)-мнимого конуса Qr-1 с ( п-mr-1-2)-плоской вершиной Tr-1 и невырожденной мнимой (n-mr-1-2 )-квадрикой Qr в (n-mr-1-1 )-плоскости

.

Индексы конусов Qk, k=0, 1, ..., r-1 равны: l0=m0+l; la=m0-ma-1, 0<a<r; lr=n-mr-1. П. п. обозначается

В случае, когда конус Q0 является парой слившихся плоскостей, совпадающих с плоскостью Т 0 (при m0=0), пространство с несобственной плоскостью T0 наз. полуевклидовым пространством

Расстояние между точками Xи Yопределяется в зависимости от расположения прямой XY относительно плоскостей Т 0, T1, ... , Т r-1. Если, в частности, прямая XY не пересекает плоскость Т 0, то расстояние между точками Xи Yопределяется с помощью скалярного произведения аналогично определению расстояния в квазиэллиптическом пространстве. Если же прямая X Y пересекает плоскость Т 0, но не пересекает плоскость T1 или пересекает плоскость Т a-1, но не пересекает плоскость Т а, расстояние между точками определяется с помощью скалярного квадрата разности соответствующих векторов точек Xи Y.

В зависимости от расположения относительно плоскостей абсолюта в П. п. различаются четыре типа прямых.

Углы между плоскостями в П. п. определяются аналогично определению углов между плоскостями в квази-эллиптич. пространстве, т. е. с использованием расстояний в двойственном пространстве.

Проективная метрика П. п. является метрикой наиболее общего вида. Частным случаем метрики П. п. является, напр., метрика квазиэллиптич. пространства. В частности, 2-плоскость совпадает с евклидовой, с неевклидовой, 3-пространство с квазиэллиптическим, с евклидовыми 3-пространствами, 3-пространство является галилеевым, флаговым пространством и т. д. 3-пространство соответствует по принципу двойственности галилееву 3-пространству Г 3 и наз. когалилеевым пространством. (Абсолют когалилеева пространства состоит из пары мнимых плоскостей (конус Q0).и точки Т 1 на прямой Т 0 пересечения этих плоскостей.)

Движениями П. п. являются его коллинеации, переводящие абсолют в себя. В случае m а=п-mr_a-1-1, la=lr-a П. п. является двойственным самому себе, в нем определяются кодвижения, определение к-рых аналогично определению кодвижений квазиэллиптич. пространства.

Движения, движения и кодвижения образуют группы, являющиеся группами Ли. Движения (как и кодвижения) описываются ортогональными операторами.

П. п. являются полуримановыми пространствами.

Лит.:[1] Розенфельд Б. А., Неевклидовы пространства, М., 1969. Л. А. Сидоров.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985