Математическая энциклопедия - полупростой эндоморфизм

полупростое линейное преобразование, векторного пространства Vнад полем К - эндоморфизм a пространства Vтакой, что всякое подпространство в V, инвариантное относительно a, обладает инвариантным прямым дополнением. Другими словами, требуется, чтобы a. определял на Vструктуру полупростого модуля над кольцом К[X]. Напр., любое ортогональное, симметрическое или кососимметрическое линейное преобразование конечномерного евклидова пространства, а также любое диагонализируемое (т. е. записывающееся в нек-ром базисе диагональной матрицей) линейное преобразование конечномерного векторного пространства являются П. э. Полупростота эндоморфизма сохраняется при переходе к инвариантному подпространству и к факторпространству V/W. Пусть dim . Эндоморфизм является П. э. тогда и только тогда, когда его минимальный многочлен не имеет кратных множителей. Пусть, кроме того, L - расширение поля Ки продолжение эндоморфизма a на пространство . Если a(L) полупрост, то и а полупрост, а если Lceпapaбельно над К, то верно и обратное. Эндоморфизм а наз. абсолютно полу простым, если a(L) полупрост для любого расширения ; для этого необходимо и достаточно, чтобы минимальный многочлен не имел кратных корней в алгебраич. замыкании поля К, т. е. чтобы эндоморфизм был диагонализируем.

Лит.:[1] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966. А. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985