Математическая энциклопедия - граничных вариации метод

метод исследования однолистных функций, основывающийся на рассмотрении вариаций функции , однолистной в области плоскости z, причем вариации функции определяются надлежащими вариациями границы образа этой области.

Основная лемма Г. в. м. Пусть D - область плоскости и дополнение области Dдо расширенной плоскости состоит из нек-рого числа континуумов. Пусть Г континуум в и на Г существует аналитич. функция такая, что для любой точки и для любой однолистной в области Dфункции , представимой в виде

справедливо неравенство

причем оценка остаточного члена в (*) является равномерной в каждой замкнутой подобласти области D. Тогда Г аналитическая кривая и представляется параметрически посредством функции от действительного параметра t. Этот параметр можно выбрать таким образом, что Г удовлетворяет дифференциальному уравнению

Этот результат обнаруживает существенную роль квадратичных дифференциалов в решении экстремальных задач теории однолистных функций, так как во многих приложениях оказывается мероморфной функцией. В нек-рых случаях из условий задачи следует, что соответствующие полюсы функции принадлежат границе экстремальной области, и основная лемма Г. в. м. показывает, что граница этой области принадлежит объединению замыканий критич. траекторий квадратичного дифференциала

Для ряда экстремальных задач основная лемма Г. в. м. не только дает качественный результат, но и оказывается достаточной информацией для определения границы экстремальной области, что приводит к полному решению данной задачи.

Посредством Г. в. м. были получены: качественные результаты в коэффициентов проблеме для класса Sи в задаче о максимуме n-го диаметра в семействе континуумов данной емкости, решение ряда экстремальных задач однолистных конформных отображений двусвязных областей, искажения теоремы, для многосвязных областей, дающие одновременно доказательство теорем существования однолистных конформных отображений данной многосвязной области на канонические области, и др.

Лит.:[1] Schiffer М., "Proc. London Math. Soc.", 1938, ser. 2, v. 44, p. 432-49; [2] Шиффер М., Некоторые новые результаты в теории конформных отображений, пер. с англ., в кн.: Р. Курант, Принцип Дирихле, конформные отображения и минимальные поверхности, М., 1953; [3] Schiffer M., в ей,;Calculus of variations and its applications, N. Y.-Toronto-L., 1958, p. 93 113. Г. В. Кузьмина.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985