Математическая энциклопедия - хопфа - ринова теорема

если М - связное риманово пространство с функцией расстояния р и Леви-Чивита связностью, то следующие утверждения равносильны:

1) М полно;

2) для каждой точки экспоненциальное отображениеeхр p определено на всем касательном пространстве М р;

3) каждое ограниченное по отношению к р замкнутое множество компактно.

Следствие: любые две точки р, можно соединить на Мгеодезия, длины Установлена X. Хопфом и У. Риновым [1].

Обобщение X.Р. т. (см. [4]): если р, q - две точки в М, то либо существует линия, соединяющая их кратчайшим образом, либо существует выходящая из ргеодезич. . со следующими свойствами: 1) Lгомеоморфна 2) если последовательность точек, лежащих на L, не имеет предельных точек на L, то она не имеет предельных точек и в М, т. е. Lзамкнуто в М;3) Lсодержит кратчайшую связь между любыми двумя точками на L; 4) для каждой точки справедливо: 5) длина Lконечна и не превосходит При этом функция не обязана быть симметричной, и каждую точку можно соединить кратчайшим образом с любой точкой из нек-рой окрестности U р не обязательно однозначно. Следствие: если в Мне существует ограниченных лучей, то каждое ограниченное множество в Мкомпактно.

Лит.:[1] Норf H., Rinow W., лComm. math. helv.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985