Математическая энциклопедия - игра на единичном квадрате

антагонистическая игра, в к-рой множеством чистых стратегий игроков I и II является сегмент [0,1]. При надлежащей нормировке к И. на е. к. может быть сведена любая антагонистич. игра с континуальными множествами стратегий у обоих игроков. И. на е. к. задаются функцией выигрыша К( х, у), определенной на единичном квадрате. Смешанными стратегиями игроков являются функции распределения на единичном интервале.

Если функция выигрыша ограничена и измерима по обеим переменным, то выигрыш игрока I, в условиях применения игроками I и II смешанных стратегий Fи Gсоответственно, равен, по определению,

Если функция К( х, у )непрерывна по обеим переменным, то

т. е. для такой игры реализуем минимакса принцип и существуют обозначенное через v значение игры и оптимальные стратегии у обоих игроков. В дальнейшем теоремы о существовании значения игры (теоремы о минимаксах) были доказаны при более слабых предположениях относительно функции выигрыша. Из общих теорем о минимаксах следует, напр., существование игры для И. на е. к. с ограниченной функцией выигрыша, полунепрерывной сверху по хили снизу по у. Доказаны теоремы существования значения игры для нек-рых специальных классов разрывных функций выигрыша (напр., для игр с выбором момента времени). Однако не все И. на е. к. обладают значением игры. Так, для функции К( х, у), равной

имеют место равенства

Для И. на е. к. с непрерывной функцией выигрыша выяснена структура множества игр с единственным решением. Имейно, множество непрерывных функций от двух переменных, для к-рых соответствующая И. на е. к. имеет единственное решение, оптимальные стратегии обоих игроков непрерывны и их носителями (см. Носитель меры )являются нигде не плотные совершенные замкнутые множества лебеговой меры нуль, содержит всюду плотное подмножество типа Gd.

Общих методов решения И. на е. к. не существует. Тем не менее для нек-рых классов И. на е. к. можно либо найти решение аналитически (таковы, напр., игры с выбором момента времени, игры с функцией выигрыша, зависящей только от разности стратегий игроков и обладающие оптимальными выравнивающими стратегиями), либо доказать для таких игр существование оптимальных стратегий с конечным носителем (таковы, напр., выпуклые игры, вырожденные игры, колоколообразные игры )и тем самым получить возможность свести задачу нахождения решения И. на е. к. к решению нек-рой матричной игры. Для решения игр с непрерывной функцией выигрыша можно применять приближенные методы.

Лит.:[1] Карлин С, Математические методы в теории игр, программировании, экономике, пер. с англ., М., 1964.

Е.