Математическая энциклопедия - искажения теоремы

при конформных отображениях плоских областей теоремы, характеризующие искажение линейных элементов в данной точке области, а также искажение области и ее подмножеств, и искажение границы области при конформном отображении. К И. т. в первую очередь относятся оценки модуля производной функции в данной точке области. Так, И. т. в классе е функций

мероморфных и однолистных в области |z|>1, состоит в утверждении, что при любом z0, имеют место точные неравенства

Равенство в левой части (1) имеет место только для функции

а в правой части только для функции

где a0 и b0произвольные фиксированные числа. Функция w=F1(z) отображает область |z|>1 на плоскость wс разрезом по отрезку, соединяющему точки

и а функция w-F2(z) отображает область |z| >1 на плоскость wс разрезом по дуге окружности |w-b0|=|z0| со средней точкой b0-z0. Неравенства (1) легко получаются из неравенства Грунского

определяющего область значений функционала In F'(z0 )на классе 2. С другой стороны, неравенства (1) являются прямым следствием теоремы Голузина: если то для любых точек z1 и z2, |z1|=|z2|=r,

справедливо точное неравенство

причем знак равенства имеет место для функции F(z)=z+е ^ia/z, где а действительная постоянная. Из неравенства (2) следует также теорема искажения хорд (см. [1]): если функция то для любых точек z1 и z2 на окружности |z|=r>1 справедливо точное неравенство

при этом знак равенства имеет место только для функции

где Спостоянная, Известны различные обобщения неравенства (2), определяющие области значений соответствующих функционалов и составляющие усиления И. т. в классе 2 и его подклассах (см., напр., [1]). В классе S функций

регулярных и однолистных в круге |z|<1, при 0<|z0| <1 справедливы следующие точные неравенства:

Оценки (4) и (5) следуют из оценок (3). Совокупность неравенств (3) (5) наз. И. т. в классе S. Нижние границы в оценках (3) (5) реализуются только функцией

верхние границы только функцией

"

где a=argz0. Функции w=fa(z),. известные как функции Кёбе, отображают круг |z|<1 на плоскость wс разрезом по лучу arg w=a, и являются экстремальными в ряде задач теории однолистных функций. Имеет место теорема Кёбе об 1/4:область, являющаяся образом круга |z|<l при отображении w=f(z),всегда содержит

круг причем, точка принадлежит границе этой области толкко для функции f(z)=fa(z).

Оценки (3) (5) являются простыми следствиями результатов об областях значений функционалов

на классе S(см. [2]).

Пусть е 0класс функций при Имеет место следующая связь между функциями классов Sи е 0: если то F(z)=и обратно, если то Поэтому область значений к.-л. функционала (или системы функционалов) на классе S определяет область значений соответствующего функционала (или системы функционалов) на классе е 0, и обратно.

Напр., из области значений функционала 0<|z0| <1, на классе Sлегко получается область значений функционала на классе е 0.