Математическая энциклопедия - исключения теория

теория исключения неизвестных из системы алгебраич. уравнений. Более точно, пусть имеется система уравнений

где fi многочлены с коэффициентами из заданного поля Р. Задача исключения неизвестных х 1 ,..., х k из системы (1) (неоднородная задача теории исключения) может быть сформулирована следующим образом: найти проекцию множества решений системы (1) на пространство координат х k+1, ..., х п. В том случае, когда каждое из уравнений однородно по совокупности неизвестных х 1, . .., х k, рассматривается также однородная задача теории исключения (неоднородная задача в этом случае тривиальна): найти проекцию на пространство координат х k+1,..., х п множества тех решений системы (1), в к-рых не все неизвестные x1, ..., xk равны нулю.

Неоднородная задача И. т. может также трактоваться как нахождение условий на коэффициенты системы алгебраич. уравнений, при к-рых эта система совместна, а однородная задача' И. т.как нахождение условий на коэффициенты , системы однородных алгебраич. уравнений, при к-рых эта система имеет ненулевое решение.

Основные результаты И. т. заключаются в том, что если поле Ралгебраически замкнуто, то решение однородной задачи И. т. является алгебраическим множеством, т. е. множеством решений системы алгебраич. уравнений, а решение неоднородной задачи конструктивным множеством в смысле алгебраич. геометрии, т. е. конечным объединением множеств вида где Ми Nсуть алгебраич. множества. В нек-рых простейших случаях решение задач И. т. известно в явном виде.

1) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна и однородна относительно х 1,..., х k, т. е. имеет вид

где а ijмногочлены от xk+1, ..., х п. При заданных значениях х k+1, . .., х п система (2) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы А= (я/у) меньше к(см. Линейное уравнение). Решением однородной задачи И. т. в этом случае будет множество в пространстве координат Xk+1,. . ., х п, выделяемое условиями равенства нулю всех миноров порядка кматрицы А.

2) Пусть рассматриваемая система уравнений линейна относительно х 1, ..., х k, т. е. имеет вид

где aij, bi многочлены от х k+1,. . ., х п. Пусть матрица, получаемая приписыванием к матрице А=(aij )столбца (bi). При заданных значениях х k+1,..., х п система (3) совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы Аравен рангу матрицы А. Следовательно, результатом исключения x1, ..., х п из системы (3) является где Mrмножество точек (xk+1, ..., х п), в к-рых а Nrмножество точек, в к-рых rkА<r (множества Mr и Nr алгебраические).

3) Пусть k=2, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений, однородных по х 1, х 2:

где а 0, a1, . . ., а п, b0, b1,. .., b тмногочлены от х 3, ..., xn. При заданных значениях х 3,. . ., х п система (4) имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда равен нулю результант

Это и дает решение однородной задачи И. т. в рассматриваемом случае.

4) Пусть к=1, поле Ралгебраически замкнуто и рассматриваемая система состоит из двух уравнений:

где а 0, a1, ..., а п, b0, b1, ..., b тмногочлены от х 2, . .., х п. При заданных значениях х 2,..., х п, не обращающихся в нуль а 0 или b0, система (5) совместна тогда и только тогда, когда

Если же а 0=b0=0, то следует рассмотреть

и т. д. Это позволяет описать в явном виде результат исключения х 1 из системы (5).