Математическая энциклопедия - исключительное аналитическое множество

аналитич. множество Ав комплексном пространстве X, допускающем такое аналитич. отображение f :что f(A ) = y точка комплексного пространства Y, а f :аналитич. изоморфизм. Модификация f наз. стягиванием множества Ав точку у.

Задача о характеризации исключительных множеств возникла в алгебраич. геометрии в связи с изучением бирациональных преобразований (см. также Исключительное подмногообразие). В аналитич. еометрии найдены весьма общие критерии исключительности множества. А именно, пусть Асвязное компактное аналитич. множество положительной размерности в комплексном пространстве X. Множество Аисключительно тогда и только тогда, когда оно обладает в Xотносительно компактной псевдовыпуклой окрестностью, в к-рой Аявляется максимальным компактным аналитич. одмножеством. Пусть когерентный пучок идеалов, множество нулей к-рого совпадает с A и пусть Nограничение на Адвойственного к линейного пространства над X(см. Векторное аналитическое расслоение). Для исключительнорти множества Адостаточно, чтобы Nбыло слабо отрицательным (см. Положительное расслоение). Если Xмногообразие, а A его подмногообразие, то Nэто нормальное расслоение над X. В нек-рых случаях слабая отрицательность расслоения Nявляется и необходимой (напр., если Аподмногообразие коразмерности 1, изоморфное Р ^k (С), или если Xдвумерное многообразие). В частности, кривая Ана комплексной поверхности Xисключительна тогда и только тогда, когда матрица (AiAj) пересечений ее неприводимых компонент отрицательно определена (см. [1], [2]). Строение окрестности И. а. м.полностью определяется окольцованным пространством при достаточно большом m. И. а. м. обладают следующим свойством транзитивности: если компактные аналитич. ространства в X, причем Висключительно в A, а A в X, то Висключительно в X. Существует относительное обобщение понятия И. а. м., рассматривающее, грубо говоря, одновременное стягивание семейства аналитич. множеств в аналитич. семействе комплексных пространств. Здесь также справедлив критерий, аналогичный сформулированному выше критерию Грауэрта (см. [2]). Другое естественное обобщение понятия II. а. м. состоит в следующем. Пусть A подпространство в Xи пусть задано собственное сюръективное голоморфное отображение j:Стягиванием пространства Xвдоль j наз. такое собственное сюръективное голоморфное отображение f : X->Y, где У содержит Вв качестве подпространства, что f|A = j и что f индуцирует изоморфизм В случае, когда X-многообразие,Л его компактное подмногообразие коразмерности 1, а j расслоение со слоем Р ^r (С), r>1, необходимое и достаточное условие стягиваемости пространства Xвдоль j на многообразие Yсостоит в следующем: нормальное расслоение N над Л (совпадающее в этом случае с расслоением, отвечающим дивизору Л) должно индуцировать на каждом слое расслоение -L, где Lопределяется гиперплоскостью в Р ^r (С); соответствующее стягивание обратно к моноидальному преобразованию с центром в В[3]. С другой стороны, для всякой модификации f : где Yмногообразие, B f(A)его подмногообразие, dim В<dim A и f :изоморфизм, отображение f|A является расслоением со слоем Р ^r (С). Известны критерии стягиваемости вдоль j и в более общей ситуации (см. [2]). Если Аисключительно в Xи является его голоморфным ретрактом (напр., A нулевое сечение слабо отрицательного векторного расслоения), то Xдопускает стягивание вдоль любого j. Если при этом размерности слоев ретракции равны по крайней мере dim A+2, то по полученному после стягивания пространству Yможно полностью восстановить исходные данные [5].

Лит.:[1] Грауэрт Г., сб. пер.: Комплексные пространства, М., 1965, с. 45-104; [2] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 15, М., 1977, с. 93 171; [3] Fuj iki A., Nakanо S., "Publs Res. Inst. Math. Sci.", 1972, v. 7, № 3, p. 637-44; [4] Итоги науки. Алгебра. Топология. Геометрия, т. 12, М., 1974, с. 77 170; [5] Тakijima К., Suzuki Т., "Trans. Amer. Math. Soc", 1976, v. 219, p. 369-77.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985