Математическая энциклопедия - исключительное подмногообразие

замкнутое подмногообразие У алгебраич. многообразия Xопределенного над алгебраич. замкнутым полем, к-рое при помощи некоторого собственного бирационального морфизма f : может быть отображено на подмногообразие У меньшей размерности и при этом f :изоморфизм. Морфизм f наз.

стягиванием подмногообразия У на Y'=f(Y);это понятие является частным случаем понятия модификации алгебраич. пространств [3]. В случае, когда X, Y, X' и Y' являются гладкими неприводимыми многообразиями, И. п. Yназ. исключительным подмногообразием 1-го рода. Если И. п. У имеет коразмерность 1 в X, то оно наз. также исключительным дивизором. Исключительный дивизор на алгебраич. поверхности наз. исключительной кривой.

Понятие И. п. естественным образом распространяется на схемы, комплексные аналитич. и алгебраич. пространства. Соответствующий морфизм при этом также наз. стягиванием; естественным образом определяется понятие И. п. 1-го рода. И. п. комплексного аналитич. ространства наз. также исключительным аналитич. множеством.

Характеризация И. п. внутри объемлющего многообразия одна из основных задач бирациональной геометрии. Исторически первый пример такой характеризации критерий Касте льнуово Энрикеса: неприводимая полная кривая Y на гладкой поверхности Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода, когда она изоморфна проективной прямой Р ¹ и индекс ее самопересечения (Y -Y )на Xравен -1 (см. [1], [9]). Этот критерий допускает обобщение на одномерные подсхемы двумерных регулярных схем (см. [6], [10]). Если произвольная связная полная кривая c неприводимыми компонентами Yi на гладкой проективной поверхности X, то необходимое (но не достаточное) условие исключительноети кривой У состоит в отрицательной определенности матрицы (YiYj). (см. [2]). В случаях связной компактной комплексной кривой на гладкой комплексной поверхности и связной полной кривой на гладком двумерном алгебраич. пространстве аналогичное условие является необходимым и достаточным условием исключительности. Многомерное обобщение критерия Кастельнуово Энрикеса для стягивания в точку имеет следующий вид [5]: неприводимое полное подмногообразие У в гладком алгебраич. многообразии Xтогда и только тогда является И. п. 1-го рода относительно стягивания в точку, когда выполняются следующие два условия: а) где r=dim X-1; б) нормальное расслоение NY/X к Y в X определяется дивизором -H, где Нгиперплоскость в Р ^r. При этом X' проективно. Соответствующее стягивание f является моноидальным преобразованием с центром в точке f(Y) (см. [7], [8]).

В аналитич. случае найдены необходимые и достаточные условия того, чтобы связное компактное комплексное подмногообразие У в комплексном многообразии Xбыло И. п. 1-го рода; соответствующее стягивание f необходимо является моноидальным преобразованием с центром в Y'=f(Y)(см. Исключительное аналитическое множество). Аналогичный критерий справедлив для алгебраич. пространств [3]. Для алгебраич. многообразий соответствующие условия необходимы, но не всегда достаточны.

При стягивании f: И. п. 1-го рода У в алгебраич. проективном многообразии Xна подмногообразие ненулевой размерности Y' в X' алгебраич. многообразие X' может уже не быть проективным. Более того, если алгебраич. многообразия Xи Y определены над полем комплексных чисел, то при аналитич. стягивании f И. п. 1-го рода Y не в точку многообразие X' в общем случае не является алгебраическим.

Если рассматривать вопрос о стягиваемости в точку И. п. (не обязательно 1-го рода), то для полного связного алгебраич. подпространства У гладкого алгебраич. пространства Xдостаточным (но не необходимым при dim Х>2 )условием исключительности является отрицательность нормального расслоения NY/X. Аналогичный факт имеет место для комплексных пространств. В случае алгебраич. пространств наиболее общий критерий исключительности утверждает, что в категории нётеровых алгебраич. пространств подпространство У в Xтогда и только тогда является И. п., когда формальное пополнение в вдоль является И. п. в категории формальных алгебраич. пространств [3]. Иными словами, стягивание алгебраич. подпространства возможно тогда и только тогда, когда возможно его соответствующее формальное стягивание.

Лит.:[1] Алгебраические поверхности, М., 1965, "Тр. Матем. ин-та АН СССР"; [2] Артин М., "Математика", 1965, т. 9, №3, с. 3-14; [3] Artin M., "Ann. math.", 1970, v. 91, Л"" 1, p. 88-135; [4] Грауэрт Г., в кн.: Комплексные пространства, М., 1965, с. 45 -104; [5] Коdairа К., "Ann. math", 1954, v. 60, p. 28 48; [6] Liehtenbaum S., "Amer. J. math.", 1968, v. 90, № 2, p. 380-405; [7] Nakanо S., "Publs Res. Inst. Math. Sci.", 1971, v. 6, № 3, p. 483-502; [8] Fujiki A., Nakanо S., там же, 1972, v. 7, № 3, p. 637-44; [9] Шафаревич И. Р., Основы алгебраической геометрии, М., 1972; [10] его же, Lectures on minimal models and borational transformations of two dimensional schemes, Bombay, 1966.

В. А. Псковских.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985