Математическая энциклопедия - ито процесс

случайный процесс, имеющий стохастический дифференциал. Точнее, непрерывный случайный процесс Xt, заданный на вероятностном пространстве (W, F, Р) с нек-рым неубывающим семейством {Ft}s-подалгебр событий W, наз. процессом И т о по отношению к {Ft}, если существуют процессы a(t)и s(t) (называемые коэффициентом

сноса и коэффициентом диффузии соответственно), измеримые при каждом tотносительно Ft, и винеровский процесс Wt относительно {Ft} такие, что

И. п. назван по имени К. Ито (К. Ito). Один и тот же процесс Xt может быть И. п. по отношению к двум различным семействам {Ft}. При этом соответствующие стохастич. дифференциалы могут существенно отличаться. И. п. наз. процессом диффузионного типа, если его коэффициенты сноса a(t)и диффузии s(t)измеримы при каждом tотносительно s-алгебры

При. некоторых достаточно общих условиях оказывается возможным представление И. п. в виде процесса диффузионного типа, но, вообще говоря, с некоторым новым винеровским процессом (см. [3]). Если И. п. Xt представим в виде диффузионного И. п. с некоторым винеровским процессом и выполняется равенство то наз. обновляющим процессом для Xt.

Пример. Пусть задан некоторый винеровский процесс Wt,относительно {Ft} и

где Yнормально распределенная случайная величина, имеющая среднее ти дисперсию g; Y измерима относительно F0.

Процесс Xt, рассматриваемый относительно имеет стохастич. дифференциал

где новый винеровский процесс определяемый равенством

является обновляющим процессом для Xt.

Лит.:[1] Гирсанов И. В., "Теория вероят. и ее примен.", 1960, т. 5, в. 3, с. 314-30; [2] Липцер Р. Ш., Ширяев А. Н., Статистика случайных процессов, М., 1974; [31 Ширяев А. Н., "Проблемы передачи информации", 1966, т. 11, в. 3, с. 3-22.

А. А. Новиков.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985