Математическая энциклопедия - изгибание на главном основании

изгибание Ft поверхности F=F0, при к-ром направления экстремального изгиба остаются неизменными. Сеть, образованная линиями, имеющими направление экстремального изгиба, является сопряженной на каждой из поверхностей Ft и наз. главным основанием изгибания. Напр., геликоид имеет бесконечное число главных оснований; вращения поверхности и каналовые поверхности допускают И. на г. о., одно из семейств к-рого состоит из геодезич. линий (см. также Фосса поверхности). Задача исследования И. на г. о. была поставлена К. М. Петерсоном [1] в 1866; он же установил, что если нек-рая поверхность Fизометрично -преобразована в две другие поверхности F' и F" так, что направления экстремального изгиба (и, следовательно, основание изгибания) F в F' совпадают с направлениями экстремального изгиба Fв F", то существует изгибание Ft поверхности F, включающее F' и F", с теми же направлениями экстремального изгиба; другими словами, если нек-рая сопряженная сеть на Fслужит основанием двух различных ее изгибаний F' и F", то она является главным основанием изгибания.

Если известны поверхности F, F', F", то все остальные поверхности Ft, получаемые при изгибании Fна главном основании, определяются теоремой: пусть x.нормальная кривизна Fв направлении одного из двух семейств главного основания а в произвольной точке а x', x", xtнормальные кривизны поверхностей F', F" и Ft в соответствующих точках и направлениях, тогда двойное отношение t=(х ², x'²,x"², x²t )сохраняет постоянную величину для всех положений Мна F.

Поверхность, допускающая И. на г. о., может быть охарактеризована только сферическим изображением главного основания: уравнения, описывающие И. на г. о., преобразуются так, что содержат только коэффициенты линейного элемента сферич. изображения поверхности и получают вид: (уравнения Коссера), где символы Кристоффеля третьей квадратичной формы поверхности, а дифференцирование ведется вдоль координатных линий и, v, составляющих главное основание изгибания. Сферич. изображение главного основания изгибания совпадает со сферич. изображением асимптотич. линий Бианки поверхности, к-рая является вращений индикатрисой (или присоединенной поверхностью) бесконечно малого изгибания F, соответствующего И. на г. о., а также с изображением в смысле Клиффорда асимптотич. линий нек-рой поверхности в эллиптич. пространстве (являющейся поворотов диаграммой И. на г. о. поверхности F).

Не все поверхности обладают главным основанием, т. е. поверхности, допускающие И. на г. о., образуют специальный класс поверхностей [4]. Обобщением И. на г. о. является изгибание на кинематическом основании, к-рое определяется тем, что коэффициенты второй квадратичной формы bij удовлетворяют уравнению bijA^ij=c, где A^ij -некоторый невырожденный тензор, с функция, зависящая от метрики gij поверхности Fи ее производных.

Лит.:[1] Петерсон К. М., "Матем. сб.", 1866, т. 1, с. 391-438; [2] Каган В. Ф., Основы теории поверхностей, ч. 2, М.Л., 1948; [3] Фиников С. П., Изгибание на главном основании и связанные с ним геометрические задачи, М.Л., 1937: [4] Лузин Н. Н., "Изв. АН СССР. Отдел, техн. наук", 1939, № 2, с. 81 106; № 7, с. 115-32; № 10, с. 65-84.

М. И. Войцеховский.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985