Математическая энциклопедия - клеро уравнение

обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, не разрешенное относительно производной:

где f(t)нелинейная функция. Уравнение (1) называется по имени А. Клеро [1], к-рый впервые указал на различие общего и особого решений уравнения такого вида. К. у. является частным случаем уравнения Лагранжа.

Если и при то множество интегральных кривых уравнения (1) включает в себя: параметрически заданную кривую

однопараметрич. семейство прямых

касательных к кривой (2); кривые, составленные из произвольного участка кривой (2) и двух прямых семейства (3), касающихся кривой (2) в концах этого участка. Семейство прямых (3) представляет собой общее решение, а кривая (2), являющаяся огибающей семейства (3),особое решение (см. [2]). Семейство касательных к гладкой нелинейной кривой удовлетворяет К. у. Поэтому к К. у. приводят геометрич. задачи, в к-рых требуется определить кривую по заданному свойству ее касательных (общему для всех точек кривой). Уравнением Клеро наз. также уравнение с частными производными 1-го порядка

оно имеет интеграл

где (a, b) произвольная точка области определения функции f(p, q )(см. [3]).

Лит.:[1] Clairaut А., в кн.: Histoire de l'Academie Royal des sciences. Annee 1734, P., 1736, p. 196-215; [2] Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 8 изд., М., 1959; [3] Камке Э., Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка, пер. с нем., М., 1966.

Н. X. Розов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985