Математическая энциклопедия - клеточное разбиение

CW комплекс, клеточный комплекс X, удовлетворяющий следующим условиям: (С) Для любой точки комплекс X(х)является конечным, т. е. состоит из конечного числа клеток (для произвольного подмножества А клеточного комплекса Xчерез X(А)обозначается пересечение всех подкомплексов комплекса X, содержащих множество A).(W) Если Fнек-рое множество клеточного комплекса X, и для любой клетки tиз клеточного комплекса Xпересечение замкнуто в (а следовательно и в X), то Fявляется замкнутым подмножеством в X. При этом каждая точка принадлежит некоторой определенной клетке tx из клеточного комплекса X, и выполняется равенство

Обозначение CW получено из первых букв англ. названий вышеприведенных двух условий: (С) Closure finiteness (конечность замыкания) и (W) Weak topology (слабая топология).

Конечный клеточный комплекс Xудовлетворяет обоим условиям (С) и (W). Вообще, клеточный комплекс X, в к-ром каждая точка хсодержится в нек-ром конечном подкомплексе Y(х), есть К. р. Пусть для нек-рого множества Fиз Xмножество замкнуто в при любом выборе клетки ( из I. Тогда для любой точки множество замкнуто в X. Если теперь точка хне принадлежит множеству F, то открытое множество содержит точку хи не пересекается с F. Множество открыто, а множество Fзамкнуто.

Класс К. р. (или класс пространств, каждое из к-рых имеет гомотопический тип К. р.) является наиболее подходящим классом топологич. пространств для построения содержательной теории гомотопии. Так: если подмножество АК. р. Xзамкнуто, то отображение f топологич. пространства Ав топологич. пространство У непрерывно тогда и только тогда, когда непрерывны ограничения отображения f на замыкания клеток комплекса X. Если Скомпактное подмножество К. р. X, то комплекс X(С)конечный. Для любой клетки tиз К. р. Xсуществует множество D, открытое в к-рое допускает в качестве деформационного ретракта множество

Практически К. р. строятся последовательно: каждая стадия состоит в приклеивании клеток данной размерности к результату предшествующей стадии. Клеточная структура такого комплекса находится в прямой связи с его гомотопич. свойствами. Даже для таких "хороших" пространств, как полиэдры, полезно рассматривать их представление в виде К. р.: в таком представлении они обычно имеют меньше клеток, чем при симплициальной триангуляции. Если пространство Xполучено приклеиванием n-мерных клеток к пространству А, то подмножество где I=[0, 1] является сильным деформационным ретрактом пространства

Относительным К. р. наз. пара (X, А), состоящая из топологич. пространства Xи его замкнутого подпространства А, а также такой последовательности замкнутых подпространств (X, А)^k,что выполняются следующие условия: а) пространство (X, А)^o получено из Априклеиванием нульмерных клеток;

б) при пространство (X, А)^k получается приклеиванием k-мерных клеток к пространству (X, А)^k-1,

в) пространство X=U(X, A)^k;. г) топология пространства Xсогласована с семейством {(X, А)^k}. Пространство (X, A)^k наз. k-м ерным остовом пространства Xотносительно А. При относительное К. р. есть К. р. в прежнем смысле, его k- мерный остов Х ^k.

Примеры: 1) Пара ( К, L )симплициальных комплексов Ки L,определяет относительное К. р. (|К|, |L|), где (|К|, |L|)^k=(K^kUL).2) Шар Vⁿ есть К. p.: (Vⁿ)^k=p0 при k<n-i,(Vⁿ)^n-1=S^n-1 и(V)^k при Сфера S^n-1 есть подразбиение этого К. р. Vⁿ.3) Если пара (X, А )есть относительное К. р., то также К. р., и =(( Х, А)^k01)(( Х, А)^k-1I).4) Если (X, А )есть относительное К. р.,то Х/А есть К. р., при этом (X/А)^k=( Х, А)^k /А, где X/А -факторпространство пространства X, полученное отождествлением всех точек множества Ас одной точкой.

Лит.:[1] Телеман К., Элементы топологии и дифференцируемые многообразия, пер. с рум., М., 1967; [2] Спеньер Э., Алгебраическая топология, пер. с англ., М., 1971; [3] Дольд А., Лекции по алгебраической топологии, пер. с англ., М., 1976.

Д. О. Баладзе.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985