Математическая энциклопедия - клейнова группа

дискретная подгруппа Г группы всех дробно-линейных отображений

расширенной комплексной плоскости С, являющаяся собственно разрывной. Это означает, что множество L(Г) точек накопления орбит {y(z0)},. для всех точек называемое предельным множеством группы Г, есть собственное подмножество С. Дополнение называемое множеством разрывности группы Г, открыто и обладает тем свойством, что каждая его точка zимеет окрестность Uz, для к-рой при всех где стабилизатор точки z в Г. Если точка отлична от неподвижных точек эллиптич. элементов Г, то Г z= {J}, где J тождественное отображение, а для каждой эллиптической неподвижной точки Г z циклическая группа конечного порядка. Основы теории К. г. были заложены в фундаментальных работах А. Пуанкаре [1] и Ф. Клейна [2] еще в 19 в., название "К. г." восходит к А. Пуанкаре.

Предельное множество либо пусто, либо состоит из одной или двух точек, либо бесконечно. Первые два случая соответствуют элементарным группам (сюда, в частности, входят все циклич. группы). Если бесконечно, то оно есть нигде не плотное в совершенное множество положительной логарифмич. емкости. Часто элементарные группы не включают в К. г.

Факторпространство имеет естественную комплексную (конформную) структуру, в к-рой проекция голоморфна, и представляет собой конечное или счетное объединение UjSj римановых поверхностей Sj;это накрытие будет разветвленным над проекциями точек с нетривиальными стабилизаторами Г z.

Само W(Г) распадается на компоненты связности Wj, число к-рых равно 1,2 или с". Если подгруппа

совпадает с Г, то компонента Wj наз. инвариантной. Инвариантных компонент может быть не больше двух. К. г. с инвариантными компонентами получили название функциональных.

Примеры. 1) Фуксовы группы. Каждая такая группа оставляет инвариантной нек-рую окружность (прямую) lс сохранением направления обхода, и Для того чтобы (неэлементарная) К. г. Г была фуксовой, необходимо и достаточно, чтобы она не содержала локсодромических элементов. По теореме Клейна Пуанкаре об униформизации всякая риманова поверхность, за исключением нескольких простейших случаев, униформизируется фуксовой группой, действующей, напр., в верхней полуплоскости т. е. с точностью до конформной эквивалентности представляется в виде H/Г. Если в Иввести гиперболич. метрику Пуанкаре

то элементы Г становятся неевклидовыми (гиперболическими) движениями. А. Пуанкаре предложил подобную интерпретацию и для произвольной К. г. Г, основанную на продолжении действия Г в полупространство

Именно, поскольку всякий элемент Г есть суперпозиция четного числа инверсий относительно окружностей можно рассмотреть инверсии относительно соответствующих полусфер в опирающихся на L. Продолженная таким образом группа Г действует в разрывно, а ее элементы становятся гиперболич. движениями

2)Квазифуксовы группы. Они служат непосредственным обобщением фуксовых групп. Квазифуксовой наз. К. г. Г, оставляющая инвариантной нек-рую ориентированную жорданову кривую Тогда Если то Г наз. группой первого рода, а при второго рода. Римановы поверхности D1/F и DJT, где D1внутренность, a D2внешность Z, гомеоморфны; более того, напр., любые две гомеоморфные римановы поверхности конечного типа (т. е. замкнутые поверхности о конечным числом проколов) могут быть униформизированы одной квазифуксовой группой. Конечно порожденные квазпфуксовы группы сводятся к фуксовым (сопрягаются с ними) с помощью квазиконформных автоморфизмов плоскости.

3) Группы Шотки. Каждая такая группа есть К. г. Г с образующими g1,. . ., g р,для к-рых существуют 2р непересекающихся жордановых кривых ограничивающих 2р-связную область Dтакую, что

При этом Г свободна, W(F)/F замкнутая поверхность рода р, а все элементы гиперболические или локсодромические. Группами Шотки униформизируются все замкнутые римановы поверхности (это униформизация по Кёбе).

4) Вырожденные группы. Это неэлементарные конечно порожденные К. г., у к-рых множества разрывности являются односвязными областями. Имеется весьма сложное доказательство существования таких групп, однако явных их примеров пока (1978) не построено. Вырожденные группы являются частным случаем групп с одной инвариантной односвязной компонентой, называемых b-группами.