Математическая энциклопедия - клейна - гордона уравнение

релятивистски инвариантное квантовое уравнение, описывающее бесспиновые скалярные или псевдоскалярные частицы, напр, p-, К-мезоны. Уравнение установлено О. Клейном [1] и несколько позднее В. А. Фоком как волновое уравнение при условии цикличности по пятой координате и вскоре было выведено без привлечения пятой координаты многими авторами (напр., В. Гордоном [2]).

Последовательное применение К.-Г. у. как квантового релятивистского уравнения возможно лишь в квантовой теории поля, а не в квантовой механике. В [3] была дана интерпретация К.-Г. у. как уравнения для полей частиц спина нуль. К.-Г. у. применяется для описания p-мезоатомов и соответствующих полей; играет роль одного из фундаментальных уравнений квантовой теории поля.

К.-Г. у. линейное однородное дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка с постоянными коэффициентами:

где j(х, t)(псевдо) скалярная функция, в общем случае комплексная, m=mc/h, mмасса покоя частиц. Если j действительная функция, то К.-Г. у. описывает нейтральные (псевдо) скалярные частицы, а при комплексном j заряженные. В последнем случае уравнение (1) дополняют уравнением для комплексно сопряженной функции j*:

Взаимодействие (псевдо) скалярных частиц с электромагнитным полем описывается минимальной подстановкой К.-Г. у. удовлетворяет также каждая компонента волновой функции частиц любого спина, по только для случая спина 0 функция является инвариантной относительно Лоренца-Пуанкаре группы.

К.-Г. у. может быть получено с помощью соотношения между энергией Еи импульсом рчастицы в специальной теории относительности

путем замены величин операторами (см. [4], [5]):

Как все релятивистские уравнения К.-Г. у. может быть представлено в форме Дирака уравнения, т. е. приведено к линейному уравнению первого порядка:

где коэффициенты Г ^a матрицы, аналогичные Дирака матрицамg^a. В случае К.-Г. у. матрицы Г ^a удовлетворяют перестановочным соотношениям:

напр., Г a³=0 (матрицы Кеммера Дуффина). Здесь hhu метрический тензор пространства Минковского. Все Г ^a являются особенными матрицами (det Г a=0) и не имеют обратных матриц.

Наряду с тривиальным решением (4) Г a=0, y=0 и в виде пятирядных матриц, описывающим скалярное поле самой функцией j и четырьмя компонентами ее градионта, соотношение (4) имеет еще решение в виде матриц десятого ранга. Соответствующая десятикомпонентная функция содержит 4 компоненты потенциала А a. и 6 компонент напряженностит. е. уравнения (3), (4) могут одновременно давать представление для уравнения Прока, описывающего векторные частицы спина 1; при h=0 и действительной j дают представление уравнений Максвелла.

При учете взаимодействия (псевдо) скалярных частиц с гравитационным полем в соответствии с общей теорией относительности К.-Г. у. обобщается на произвольное риманово пространство в виде:

где gab метрический тензор, gопределитель матрицы ||gab||. Часто в уравнение (5) добавляют член Rj/6, где Rскалярная кривизна, благодаря чему при h=0 общерелятивистское К.-Г. у.

становится конформно инвариантным.

Лит.:[1] Klein О., "Z. Phys.", 1926, Bd 37, S. 895-906; [2] G or d on W., там же, 1926/1927, Bd 40, S. 117-33; [3]Pauli W., Weisskopf V., "Helv. phys. acta", 1934, Bd 7, S. 709-31; [4] Бoголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 3 изд., М., 1976; [5] Швебер С, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963.

В. Г. Кречет.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985