Математическая энциклопедия - униформизация

множества (или тройка (f, D, G), где f=(f1, . . ., fN) система мероморфных в области (соответственно функций, определяющая голоморфное накрытие причем f(D0) плотно в A,a G - собственно разрывная группа биголоморфных автоморфизмов D, ограничение к-рой на D0 служит группой накрывающих гомеоморфизмов этого накрытия, т. е. D0/Gбиголоморфно эквивалентно f(D0).

Можно говорить также об У. многозначных аналитических функций понимая под этим У. множества A={(z, w)};это соответствует параметризации Fс помощью однозначных мероморфных функций.

Напр., комплексная кривая z²+w²=l в униформизируется тройкой где z=cos t, w=sin t, G - группа сдвигов или тройкой ((z, w), D, G), где

G тривиальная группа. Менее тривиальный пример дает кубическая кривая w²=a0z³+a1z²+a2z+a3, к-рая не допускает рациональной параметризации, но может быть униформизирована с помощью эллиптических функций, а именно тройкой ((f1, f2), D, G), где f1 и f2 рациональные функции от -функции Вейерштрасса и ее производной с соответствующими периодами а G группа, порожденная сдвигами

Проблема У. произвольной алгебраич. кривой, определяемой общим алгебраич. уравнением

где Рнеприводимый алгебраич. многочлен над С, возникла еще в 1-й пол. 19 в., в частности в связи с интегрированием алгебраич. функций. А. Пуанкаре (Н. Poincare) поставил вопрос об У. множества решений произвольных аналитич. равнений вида (*), когда Р - сходящийся степенной ряд от двух переменных, рассматриваемый с его всевозможными аналитич. родолжениями. У. алгебраич. и произвольных аналитич. многообразий составляет содержание двадцать второй проблемы Гильберта. Полного решения проблемы У. тюка (к 1984) не получено, за исключением одномерного случая.

Введя во множестве пар (z, w) в удовлетворяющих (*), комплексную структуру с помощью элементов соответствующей алгебраич. функции w(z) (или z(w)), получают компактную риманову поверхность, при этом координаты точек кривой (*) будут мероморфными функциями на этой поверхности. Более того, все компактные римановы поверхности с точностью до конформной эквивалентности получаются таким образом. Поэтому проблема У. алгебраич. кривых сводится к проблеме У. римановых поверхностен.

У. произвольной римановой поверхности Sназ. 0 и {vl,. . ., vn} множество простых попарно не пересекающихся петель на S. Тогда существует единственная с точностью до конформной эквивалентности стандартная У. поверхности S такая, что каждая факторподгруппа G является либо фуксовой, либо элементарной и накрытие построено по наименьшей нормальной подгруппе натянутой на петли v1, . . ., v п.

Теория квазиконформных отображений и Тайхмюллера пространств позволила доказать возможность одновременной У. нескольких римановых поверхностей одной клейновой группой, а также всех римановых поверхностей данного типа (см. [7]).

Лит.:[1] Klein Сhr. F., лMath. Ann.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985