Математическая энциклопедия - унипотентная группа

подгруппа Uлинейной алгебраич. группы G, состоящая из унипотентных элементов. Если отождествить G с ее образом при изоморфном вложении в группу GL(V)автоморфизмов подходящего конечномерного векторного пространства V, то У. г.это подгруппа, лежащая в множестве

всех унипотентных автоморфизмов пространства V. Зафиксировав в Vбазис, можно отождествить GL(V)с полной матричной группой GLn(K), где К - основное алгебраически замкнутое поле; матричная группа Uтакже называется при этом У. г. Пример У. г.группа U п (К)всех верхнетреугольных матриц из GLn(K) с единицами на диагонали. Если kподполе поля К к Uунипотентная подгруппа в GLn(k). то Uсопряжена над kс нек-рой подгруппой группы Un(k). В частности, все элементы из U имеют в Vобщий ненулевой неподвижный вектор, a Uявляется нильпотентной группой. Эта теорема показывает, что алгебраические У. г.это в точности замкнутые (в топологии Зариского) подгруппы групп Un (К)при различных п.

В любой линейной алгебраич. группе H имеется единственная связная нормальная унинотентная подгруппа Ru (Н) (унипотентный радикал), фактор H/Ru (Н)по к-рому редуктивен. Это в известной степени сводит изучение строения любой группы к изучению строения редуктивных групп и У. г. В отличие от редуктивного случая классификация алгебраических У. г. к настоящему времени (1984) неизвестна.

Всякая подгруппа и всякая факторгруппа алгебраической У. г. снова являются У. г. Если char К=0,то Uвсегда связна, причем экспоненциальное отображение ехр : (где алгебра Ли группы U)является изоморфизмом алгебраич. многообразий; если же char К=р>0,то существуют несвязные алгебраические У. г.: напр., аддитивная группа Ga основного поля . (ее можно отождествить с U2(K))является р-группой и потому содержит конечные У. г. В связной У. г. Uимеется такая последовательность нормальных делителей что все факторы Ui/Ui+1 одномерны. Всякая связная алгебраическая одномерная У. г. изоморфна Ga. Это сводит изучение связных алгебраических У. г. к описанию кратных расширений групп типа Ga.

Значительно больше, чем в общем случае, известно о коммутативных алгебраических У. г. (см. [4]). Если char K=0, то это в точности алгебраич. группы, изоморфные при этом изоморфизм задается экспоненциальным отображением. Если же char K=p>0,то связные коммутативные алгебраические У. г. U - это в точности связные коммутативные алгебраич. группы, являющиеся р-группами. В этом случае Uне обязательно изоморфна для этого необходимо и достаточно, чтобы gP=e для любого В общем же случае Uизогенна произведению нек-рых специальных групп (т. н. групп Витта, см. [2]).

Если Ни U - связные алгебраические У. г. и то многообразие U/H изоморфно аффинному пространству. Любая орбита алгебраической У. г. автоморфизмов аффинного алгебраич. многообразия . замкнута в X[5].

Лит,:[1] Борель А., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1972; [2] Серр Ж. П., Алгебраические группы и поля классов, пер. с франц., М., 1968; [3]Xамфри Дж., Линейные алгебраические группы, пер. с англ., М., 1980; [4] Кambауасhi Т., Miyanishi М., Тakеuсhi M., Unipotent algebraic groups, В.[а. о.], 1974; [5] Steinberg R., Conjugacy classes in algebraic groups, B.fa. o.], 1974.

В. Л. Попов.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985