Математическая энциклопедия - универсальная обертывающая алгебра

алгебры Ли над коммутативным кольцом kс единицей ассоциативная k- алгебра с единицей, снабженная отображением для к-рой выполнены следующие свойства: 1) о является гомоморфизмом алгебр Ли, т. е. Ус-линейно и 2) для любой ассоциативной k-алгебры Ас единицей и всякого такого k-линейного отображения что существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр переводящий единицу в единицу, для к-рого У. о. а. определяется однозначно с точностью до изоморфизма и всегда существует: если тензорная алгебра k-модуля I ее двусторонний идеал, порожденный элементами вида [ х, у] и каноническое отображение, то У. о. а. для

Если kнётерово, а модуль конечного порядка, то алгебра нётерова слева и справа. Если свободный модуль над областью целостности k, то не имеет делителей нуля. Для любой конечномерной алгебры Ли над полем kалгебра удовлетворяет условию Оре (см. Вложение полугруппы )и тем самым обладает телом частных.

Если V - нек-рый k-модуль, то всякий гомоморфизм алгебр продолжается до гомоморфизма ассоциативных алгебр Этим устанавливается изоморфизм категории -модулой и категории левых -модулей, существование к-рого лежит в основе применений У. о. а. в теории представлений алгебр Ли (см. [3], [4]).

У. о. а. прямого произведения алгебр Ли есть тензорное произведение алгебр Если подалгебра в причем и свободные k-модули, то канонический гомоморфизм является вложением. Если k' - расширение поля k, то У. о. а. обладает канонической фильтрацией где а n>0,k-подмодуль в порожденный произведениями для всех i. Ассоциированная с этой фильтрацией градуированная алгебра коммутативна и порождается образом естественного отображения это отображение определяет гомоморфизм симметрической алгебры k-модуля в Согласно теореме ПуанкареБиркгофа Витта изоморфизм алгебр, если свободный k-модуль. Эквивалентная формулировка состоит в следующем: если базис k-модуля где I линейно упорядоченное множество, то семейство одночленов образует базис k-модуля (в частности, инъективно).

Пусть центр алгебры Тогда для любой конечномерной алгебры Ли над полем характеристики 0 совпадает с подалгеброй G-инвариантных элементов в Если полупроста, то является алгеброй многочленов от переменных.

Одним из важнейших направлений исследования У. о. а. является изучение их примитивных идеалов (см. [3]).

Лит.:[1] Бурбаки Н., Группы и алгебры Ли. Алгебры Ли, свободные алгебры Ли и группы Ли, пер. с франц., М., 1976; [2] его же, Группы и алгебры Ли. Подалгебры Картана, регулярные элементы, расщепляемые полупростые алгебры Ли, пер. с франц., М., 1978; [3] Диксмье Ж., Универсальные обертывающие алгебры, пер. с франц., М., 1978; [4] Кириллов А. А., Элементы теории представлений, 2 изд., М., 1978; [5] Гельфанд И. М., лМатем. сб.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985