Математическая энциклопедия - унитарная группа

относительно формы f группа Un( К, f) всех линейных преобразований n-мерного правого линейного пространства Vнад телом К, сохраняющих фиксированную невырожденную полуторалинейную (относительно инволюции J тела К)форму f на V, т. е. таких что

У. г. принадлежит к числу классических групп. Частными случаями У. г. являются симплектическая группа (в этом случае К - поле, J=1и f знакопеременная билинейная форма) и ортогональная группа( К - поле, char J=1, f симметрическая билинейная форма). Далее, пусть и f обладает свойством (Т)(см. Витта теорема). Умножая f на подходящий скаляр, можно, не меняя У. г., добиться того, чтобы f стала эрмитовой формой, а меняя, сверх того, J,- чтобы f стала косоэрмитовой формой.

Если исключить случай n=2, то всякий элемент У. г. U п( К, f) является произведением не более чем п+l квазиотражении (т. е. преобразований, оставляющих на месте все элементы какой-либо неизотропной гиперплоскости в V). Центр Zn У. г. Un(K, f) состоит из всех гомотетий пространства Vвида

Пусть v индекс Витта формы f. Если то удобно считать f косоэрмитовой. Пусть Т п( К, f) нормальный делитель в Un(K, f), порожденный унитарными сдвигами, т. е. линейными преобразованиями вида где а - изотропный вектор пространства V, а Центром группы Т п( К, f) является группа Факторгруппа Т п( К, f)/Wn проста при если или Строение факторгруппы Un(K,f)/ Т п( К, f) описывается следующим образом. Пусть подгруппа мультипликативной группы К* тела К, порожденная а подгруппа в К*, порожденная элементами обладающими следующим свойством: в F существует такая гиперболическая плоскость (т. е. двумерное неизотропное подпространство, содержащее изотропный вектор), что для нек-рого вектора ортогонального к указанной плоскости. Эти подгруппы являются нормальными в К*. Пусть подгруппа в К*, порожденная коммутаторами Если исключить случай n= 3, то Un(K, f)/ Т п( К, f) при изоморфна

Группа Т п( К, f) во многих случаях совпадает с коммутантом У. г. Т п( К, f): это верно, напр., если Если Ккоммутативно и то Т п( К, f) совпадает с нормальной подгруппой состоящей из тех элементов, определитель Дьёдонне к-рых равен 1 (за исключением случая n=3, Соотношения между и исследованы также в случае, когда тело Кимеет конечную размерность над своим центром [1].

Пусть теперь v=0. Тогда многие из указанных результатов неверны (имеются примеры У. г., обладающих бесконечным рядом нормальных делителей с абелевыми факторами, примеры У. г., для к-рых n=2и не совпадает со своим коммутантом и т. п.). Наиболее изученными являются случаи локально компактного поля характеристики и поля алгебраич. чисел.

Один из основных результатов об автоморфизмах У. г. состоит в следующем (см. [1]): если char a то всякий автоморфизм У. г. Т п( К, f) имеет вид где гомоморфизм Т п( К, f) в со центр Zn, a g - унитарное полуподобие пространства V(т. е. биективное полулинейное отображение удовлетворяющее условию где а автоморфизм K, связанный с g). Если nчетно, К - поле характеристики и то всякий автоморфизм группы индуцируется автоморфизмом группы Т п( К, f).

Если автоморфизм комплексного сопряжения и эрмитова форма f положительно определена, то У. г. Т п( К, f )обозначается через Un;она является компактной вещественной связной группой Ли и часто наз. просто У. г. В случае неопределенной формы / группу часто наз. псевдоунитарной. С помощью выбора в Vбазиса Un отождествляется с группой всех унитарных матриц. Группа в этом случае наз. специальной унитарной группой и обозначается через SUn.

Лит.:[1] Дьедонне Ж., Геометрия классических групп, пер. с франц., М., 1974; [2] Бурбаки Н., Алгебра. Модули, кольца, формы, пер. с франц., М., 1966; [3] Автоморфизмы классических групп, сб. пер. с англ. и франц.. М., 1976; [4] Вейль Г., Классические группы, их инварианты и представления, пер. с англ., М., 1947; [5] Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. Семинар лСофус Ли

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985