Математическая энциклопедия - универсальных алгебр многообразие

класс универсальных алгебр, определяемый системой тождеств (ср. Алгебраических систем многообразие). У. а. м. характеризуется как непустой класс алгебр, замкнутый относительно факторалгебр, подалгебр и прямых произведений. Последние два условия можно заменить требованием замкнутости относительно подпрямых произведений. У. а. м. наз. тривиальным, если оно состоит из одноэлементных алгебр. Каждое нетривиальное У. а. м. содержит свободную алгебру с базой любой мощности. Если X и Y базы одной и той же свободной алгебры нетривиального У. а. м. и Xбесконечна, то Xи . равномощны. Требование бесконечности одной из баз существенно. Оно может быть снято, если У. а. м. содержит неодноэлементную конечную алгебру.

У. а. м., порожденное классом К, состоит из всех факторалгебр всевозможных подпрямых произведений алгебр из К. Все конечно порожденные алгебры из У. а. м., порожденного конечной алгеброй, конечны. Конгруэнции любой алгебры из У. а. м. Мсигнатуры W перестановочны в том и только в том случае, когда существует такой тернарный терм f сигнатуры что тождества f( х, x, y)= y = f(y,x, x )справедливы во всех алгебрах из М. Аналогичным образом могут быть охарактеризованы У. а. м., чьи алгебры обладают модулярными или дистрибутивными решетками конгруэнции (см. [1-4, 7, 9, 10]).

В многообразии М n -арная операция f наз. тривиальной, если во всех алгебрах из Мсправедливо тождество f(x1,. . ., xn)=f(yl,. . ., у п). Напр., в многообразии колец с нулевым умножением операция умножения тривиальна. Каждую тривиальную операцию f можно заменить 0-арной операцией vf, определяемой равенством vf=f(x1,. . ., xn). Пусть сигнатуры и У. а. м. Ми М' соответственно не содержат тривиальных операций. Отображение Ф сигнатуры в множество термов сигнатуры наз. допустимым, если арности операций f и Ф(f) совпадают для всех Допустимое отображение Ф естественным образом продолжается до отображения в к-рое также обозначается Ф. Многообразия Ми М' наз. рационально-эквивалентными, если существуют допустимые отображения и такие, что для всех для всех и для каждого тождества u=v (соответственно u'=v'), входящего в определение многообразия М(многообразия М'), тождество Ф(и) = Ф(v)(соответственно Ф' (u')=Ф' (v' ))справедливо во всех алгебрах из М' (из М). Последнее требование равносильно тому, что каждая алгебра Аиз М( А' из М') превращается в алгебру из М' (из М), если каждую n-арную операцию f' из (f из определить равенством f'(x1,. . ., xn)=Ф '(f')(x1, . . ., х п )(соответственно f(x1,. . ., xn)'= Ф(f)(х 1, . . ., х n)).Рационально эквивалентны многообразия булевых колец н булевых алгебр. Многообразие унарных алгебр сигнатуры определяемое тождествами рационально эквивалентно многообразию всех левых Я-полигонов, где R фактормоноид свободного моноида со свободной порождающей системой по конгруэнции, порожденной всеми парами У. а. м. Мрационально эквивалентно многообразию всех правых модулей над нек-рым ассоциативным кольцом тогда и только тогда, когда конгруэнции любой алгебры из Мперестановочны, конечные свободные произведения в . совпадают с прямыми произведениями и существует нуль-арная производная операция, отмечающая подалгебру. Первые два условия можно заменить требованием: каждая подалгебра любой алгебры из Мявляется классом нек-рой конгруэнции и каждая конгруэнция любой алгебры из Моднозначно определяется своим классом, являющимся подалгеброй [3, 5, 6, 7]. Многообразие решеток, порожденное решетками конгруэнции всех алгебр нек-рого У. а. м., наз. конгруэнц-многообразием. Не всякое многообразие решеток является конгруэнц-многообразием. Существуют не модулярные конгруэнц-многообразия, отличные от многообразия всех решеток [7, 8].

Лит.:[1] Кон П., Универсальная алгебра, пер. с англ., М., 1968; [2] Курош А. Г., Лекции по общей алгебре, 2 изд., М., 1973; [3] Мальцев А. И., Алгебраические системы, М., 1970; [4] Скорняков Л. А., Элементы общей алгебры, М., 1983; [5] Чакань Б., лActa Sclent. Math.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985