Математическая энциклопедия - унитарное преобразование

линейное преобразование Аунитарного пространства L, сохраняющее скалярное произведение векторов, т. е. такое, что для любых векторов хи . из Lимеет место равенство

( Ах, Ау) =( х, у).

У. п. сохраняет, в частности, длину вектора. Обратно, если линейное преобразование унитарного пространства сохраняет длины всех векторов, то оно унитарно. Собственные значения У. п. равны по модулю 1; собственные подпространства, отвечающие различным собственным значениям, ортогональны.

Линейное преобразование Аконечномерного унитарного пространства Lявляется У. п. тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет любому из следующих условий:

1) в любом ортонормированием базисе преобразованию Асоответствует унитарная матрица;

2) Апереводит любой ортонормированный базис в ортопормированный;

3) в Lсуществует ортонормированный базис, состоящий из собственных для Авекторов, причем соответствующая Ав этом базисе диагональная матрица имеет диагональные элементы, равные по модулю 1.

У. п. данного унитарного пространства образуют относительно умножения преобразований группу (наз. унитарной группой).

A. Л. Онищик.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985