Математическая энциклопедия - унитарно эквивалентные операторы

действующие в гильбертовом пространство H линейные операторы Аи В собластями определения DA и DB соответственно такие, что

1) UDA = DB,

2) UAU^-lx = Bx для любого

где U унитарный оператор. Если Аи В - ограниченные линейные операторы, то условие 1) опускается. Если А самосопряженный оператор, то таков же и В; если Аи Вограниченные операторы, то

Самосопряженные У. э. о. имеют унитарно эквивалентные спектральные функции, т. е: Поэтому спектры У. э. о. имеют одинаковую структуру: либо оба чисто точечные, либо оба чисто непрерывные, либо оба смешанные. В частности, в случае чисто точечного спектра собственные значения У. э. о. одинаковые и ранги собственных значений совпадают, причем это является не только необходимым, но и достаточным условием унитарной эквивалентности операторов с чисто точечным спектром.

Примером пары У. э. о. в комплексном пространстве является оператор дифференцирования с областью определения DA,состоящей из абсолютно непрерывных на функций, имеющих на этом промежутке суммируемую с квадратом производную, и оператор умножения на независимую неременную Bx=tx(t). Унитарным оператором, осуществляющим унитарную эквивалентность, является в этом случае Фурье преобразование.

Лит.:[1] Ахиезер Н. И., Глазман И. М., Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, 2 изд., М., 1966; [2] Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965; [3] Рисс Ф., Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, пер. с франц., 2 изд., М., 1979.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985